《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练1. 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是- $\frac{1}{2}$，且经过点A(8，-6)的直线方程为$x + 2y + 4 = 0$；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是$\frac{3}{2}$和-3的直线方程为$2x - y - 3 = 0$；
(3)经过点$P_1(3,-2)$，$P_2(5,-4)$的直线方程为$x + y - 1 = 0$.

答案：
(1)$x + 2y + 4 = 0$
(2)$2x - y - 3 = 0$
(3)$x + y - 1 = 0$
(1)由直线方程的点斜式得$y - (-b) = -\frac{1}{2}(x - 8)$，即$x + 2y + 4 = 0$.
(2)由直线方程的截距式得$\frac{x}{3} + \frac{y}{-3} = 1$，即$2x - y - 3 = 0$.
(3)由直线方程的两点式得$\frac{y - (-2)}{-4 - (-2)} = \frac{x - 3}{5 - 3}$，即$x + y - 1 = 0$.

典例2 已知方程$(m^2 - 2m - 3)x + (2m^2 + m - 1)y + 6 - 2m = 0(m ∈ R)$.
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.

答案： 解：
(1)当$x,y$的系数不同时为零时，方程表示一条直线.
令$m^2 - 2m - 3 = 0$，解得$m = -1$或$m = 3$;
令$2m^2 + m - 1 = 0$，解得$m = -1$或$m = \frac{1}{2}$.
所以$x,y$的系数同时为零时$m = -1$，
故若方程表示一条直线，则$m \neq -1$，
即实数$m$的取值范围为$\{m\mid m \neq -1\}$.
(2)当$x$的系数不为0,$y$的系数为0时斜率不存在，
由
(1)知当$m = \frac{1}{2}$时，$2m^2 + m - 1 = 0$且$m^2 - 2m - 3 \neq 0$，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为$3x - 4 = 0$.
(3)易知$m \neq -1$且$m \neq 3$时，直线在$x$轴上的截距存在.
依题意，令$y = 0$，得直线在$x$轴上的截距$\frac{2m - 6}{m^2 - 2m - 3} = -3$，解得$m = -\frac{5}{3}$($m = 3$舍去).所以实数$m$的值为$-\frac{5}{3}$.

[变式探究]
(变条件)本例(3)中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.

答案： 解：易知$m \neq -1$且$m \neq \frac{1}{2}$时，直线的斜率存在，
方程即$y = -\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1}x - \frac{6 - 2m}{2m^2 + m - 1}(m \in \mathbf{R})$，故斜率为$-\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1}$.
因为直线的倾斜角是$45°$，所以斜率为1，
所以$-\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1} = 1$，解得$m = \frac{4}{3}$($m = -1$舍去).
所以实数$m$的值为$\frac{4}{3}$.

对点练2. 已知直线l：ax + (1 - 2a)y + 1 - a = 0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.

答案： 解：
(1)由条件知，$a \neq 0$且$a \neq \frac{1}{2}$，
在直线$l$的方程中，令$y = 0$得$x = \frac{a - 1}{a}$，令$x = 0$得$y = \frac{a - 1}{1 - 2a}$
所以$\frac{a - 1}{a} = \frac{a - 1}{1 - 2a} × 3$，解得$a = 1$，或$a = \frac{1}{5}$，
经检验，$a = 1,\frac{1}{5}$均符合要求.
(2)当$a = \frac{1}{2}$时，$l$的方程为$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = 0$，即$x = -1$，此时$l$不通过第四象限;
当$a \neq \frac{1}{2}$时，直线$l$的方程为$y = \frac{-a}{1 - 2a}x + \frac{a - 1}{1 - 2a}$
$l$不通过第四象限，即$\begin{cases} \frac{-a}{1 - 2a} \geq 0, \\ \frac{a - 1}{1 - 2a} \geq 0, \end{cases}$解得$\frac{1}{2} ＜ a \leq 1$.
综上所述，当直线$l$不通过第四象限时，实数$a$的取值范围为$[\frac{1}{2},1]$.