《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 3. 已知直线 $ l $ 的斜率为 $ -\frac{1}{2} $，求直线 $ l $ 的模长为 $ 1 $ 的方向向量。

答案： 对点练3.解：设直线l的方向向量为b=(x,y)，则$\frac{y}{x}=-\frac{1}{2}.①$
因为|b|=1，所以x² + y²=1.②
由①②得$\begin{cases}x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ y=\frac{\sqrt{5}}{5} \end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ y=-\frac{\sqrt{5}}{5} \end{cases}.$
所以$b=(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})，$或$b=(\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}).$

典例 4 （链教材 P5 例 2）已知三点 $ A(a, 2) $，$ B(3, 7) $，$ C(-2, -9a) $。
（1）若 $ A $，$ B $，$ C $ 三点在同一直线上，求实数 $ a $ 的值；
（2）若点 $ A $ 不在直线 $ BC $ 上，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 典例4 解：
(1)因为A,B,C三点共线，所以$k_{AB}=k_{BC}，$即$\frac{7 - 2}{3 - a}=\frac{7 + 9a}{3 + 2}$
所以a=2，或$a=\frac{2}{9}.$
(2)当A,B,C三点共线时，a=2，或$a=\frac{2}{9}.$
那么当A,B,C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2，且$a≠\frac{2}{9}.$所以实数a的取值范围为${a|a≠2，且a≠\frac{2}{9}}.$

对点练 4. 已知 $ A(a + 2, a) $，$ B(1, -a) $，$ C(a - 4, a - 1) $ 三点构成一个三角形，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 对点练4.解：因为A(a + 2,a)，B(1,-a)，C(a - 4,a - 1)，
所以$k_{AC}=\frac{a - 1 - a}{a - 4 - a - 2}=\frac{1}{6}.$
当a + 2=1，即a= -1，此时A(1,-1)，B(1,1)，C(-5,-2)，则AB的斜率不存在，此时A,B,C三点能构成一个三角形；
当a + 2≠1，即a≠ -1时，$k_{AB}=\frac{-2a}{-1 - a}，$要使A,B,C三点能构成一个三角形，则$k_{AB}≠k_{AC}，$即$\frac{-2a}{-1 - a}≠\frac{1}{6}，$解得$a≠\frac{1}{11}.$
综上可得，实数a的取值范围为$(-∞,\frac{1}{11})∪(\frac{1}{11},+∞).$