《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 国庆期间，某游客从上海世博园$(O)$游览结束后乘车到外滩$(A)$观赏黄浦江，然后抵达东方明珠$(B)$游玩，如图①所示.
(1) 游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
(2) 如果游客还要登上东方明珠顶端$(D)$俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？

答案： 问题1.
(1)如题图①，游客的实际位移是$\overrightarrow{OB}$，可以用平面向量的加法来表示这个过程.
(2)如题图②，他实际发生的位移是$\overrightarrow{OD}$，可以用空间向量来表示.

1. 空间向量
(1) 定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
(2) 长度：向量的大小叫作向量的长度或模.
(3) 表示法
一种用有向线段来表示，例如，以点$A$为起点、点$B$为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量$\overrightarrow{AB}$.点A叫作向量$\overrightarrow{AB}$的起点，点B叫作向量$\overrightarrow{AB}$的终点，其模记为$|\overrightarrow{AB}|$.
一种在印刷时用$a,b,c,·s$表示，在书写时用$\vec{a},\vec{b},\vec{c},·s$表示，其模记为$|a|$.

答案： 1.
(1)大小 方向
(2)大小 模
(3)有向线段 点A 点B

2. 几类特殊的空间向量

[微提醒] (1) 平面向量是一种特殊的空间向量.
(2) 两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3) 空间向量不能比较大小，模可以相等. (4) 空间共线向量不一定具备传递性. (5) 空间中任意两个向量都是共面向量.

答案： 2.相同 相等 零向量 平行或重合 平行 同一平面

典例 1
(1) 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A.若向量$a,b$平行，则$a,b$所在的直线平行
B.若$|a| = |b|$，则$a,b$的长度相等而方向相同或相反
C.若向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$满足$|\overrightarrow{AB}| ＞ |\overrightarrow{CD}|$，则$\overrightarrow{AB} ＞ \overrightarrow{CD}$
D.相等向量其方向必相同

答案： D
解析：对于A，向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$平行，则$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$所在的直线平行或重合；对于B，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$只能说明$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的长度相等而方向不确定；对于C，向量不能比较大小. 故选D.

(2) (多选题) 下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量$a,b$满足$|a| = |b|$，则$a = b$
B.在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，必有$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}$
C.若空间向量$m,n,p$满足$m = n,n = p$，则$m = p$
D.空间中任意两个单位向量必相等

答案： BC
解析
对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向不一定相同，故A为假命题；对于B，$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{A_1C_1}$的方向相同，模也相等，故$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_1C_1}$，故B为真命题；对于C，向量的相等满足传递性，故C为真命题；对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D为假命题. 故选BC.