《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶。油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂。

问题 1. 观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙说彩灯在他的右上方，为什么？
问题 2. 当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？

答案： 问题1.甲乙观察点的位置不一样.
问题2.互相平行.

典例 1
如图，已知长方体 $ ABCD - A'B'C'D' $ 的棱长 $ AB = 2 $，$ AD = 4 $，$ AA' = 3 $。以点 $ D $ 为原点，$ DA $，$ DC $，$ DD' $ 所在直线分别为 $ x $ 轴、$ y $ 轴、$ z $ 轴建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：

（1）$ AA' $；（2）$ BD' $。

答案： 解：由已知可得，长方体顶点$A,B,A',D'$的坐标分别为$A(4,0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),D'(0,0,3)$.
(1)因为向量$\overrightarrow{AA'}=(0,0,3)$，所以直线$AA'$的一个方向向量为$(0,0,3)$.
(2)因为向量$\overrightarrow{BD'}=(-4,-2,3)$，所以直线$BD'$的一个方向向量为$(-4,-2,3)$.

（1）（多选题）若 $ M(1,0,-1) $，$ N(2,1,2) $ 在直线 $ l $ 上，则直线 $ l $ 的一个方向向量是（AB）
A.$ (2,2,6) $
B.$ (1,1,3) $
C.$ (3,1,1) $
D.$ (-3,0,1) $

答案： （1）$AB$ 解析因为$M,N$在直线$l$上，所以$\overrightarrow{MN}=(1,1,3)$，故向量$(1,1,3),(2,2,6)$都是直线$l$的一个方向向量.故选$AB$.

（2）若向量 $ \boldsymbol{a} = (x,-2,1) $，$ \boldsymbol{b} = (-1,y,2) $ 都是直线 $ l $ 的方向向量，则 $ x + y = $______。

答案： （2）$-\frac{9}{2}$
解析因为$a,b$都是直线$l$的方向向量，所以$a// b$.因此$\frac{x}{-1}=\frac{-2}{y}=\frac{1}{2}$，解得$x=-\frac{1}{2},y=-4$.所以$x + y=-\frac{9}{2}$.