《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 1 (链教材 P160 例 1) 用 0,1,2,3,4 五个数字,
(1) 可以排成多少个三位数字的电话号码?
(2) 可以排成多少个三位数?
(3) 可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数?

答案： 典例1 解：
(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=5³=125(种)，即可以排成125个三位数字的电话号码.
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法.除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5=100(个)三位数.
(3)被2整除的数，个位数字可取0,2,4，因此可分为两类：一类是个位数字是0，则有4×3=12(种)排法；一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因为0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3=18(种)排法.故共有12+18=30(种)排法，所以可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

[变式探究]
(变设问) 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?

答案： [变式探究] 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2=36(个).

对点练 1. (1) 从 1,2,3,···,8,9 这 9 个数字中任取 3 个数组成一个没有重复数字的三位数, 若这些三位数能够被 5 整除, 则这样的三位数的个数为 (D)
A.504
B.336
C.72
D.56

答案： D
(1)依题意可知，这些三位数的个位为5，所以这样的三位数有8×7=56个.故选D.

(2) “回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22,121,3 443 等. 那么在四位数中, 回文数共有______个.

答案：
(2)90由题意得，4位“回文数”只需排列前两位数字，后面数字即可确定，因为第一位不能为0，所以第一位有9种排法，第二位有10排法，所以由分步乘法原理可知共有9×10=90排法.

典例 2 (链教材 P161 例 3) (1) 某市人民医院急诊科有 3 名男医生和 4 名女医生, 内科有 4 名男医生和 4 名女医生, 现从该医院急诊科和内科各选派 1 名男医生和 1 名女医生组成 4 人组, 参加省人民医院组织的交流会, 则所有不同的选派方案有 (A)
(1)从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×4=12种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有4×4=16种方案，根据分步乘法计数原理，共有12×16=192不同的选派方案.故选A.
A.192 种
B.180 种
C.29 种
D.15 种

答案： A
(1)从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×4=12种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有4×4=16种方案，根据分步乘法计数原理，共有12×16=192不同的选派方案.故选A.

(2) 甲, 乙两名同学要从 A,B,C,D 四个科目中每人选取三科进行学习, 则两人选取的科目不完全相同的方法有______种.

答案： 12
(2)法一：甲，乙两名同学要从A,B,C,D四个科目中每人选取三科进行学习，不可能只有一科相同，至少要两科相同，而所求科目不完全相同，即只有两科相同.完成这件事，可以分两步，先选相同科目，有AB.AC,AD,BC,BD,CD6种情况，再选不同科目，有2种情况，所以科目不完全相同方法共有6×2=12种. 法二：两人选取科目的方法共有4×4=16种，科目完全相同的方法共有4×1=4种，所以科目不完全相同的方法共有12种.

对点练 2. (1) 将 2 名女生和 3 名男生分配到两个不同的兴趣小组, 要求每个兴趣小组分配男生、女生各 1 人, 则不同的分法种数为12.
(2) 2024 年 7 月 14 日 13 时(当地时间), 2024 年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递, 其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的 5 名火炬手分四棒完成, 若甲传递第一棒, 最后一棒由 2 名火炬手共同完成, 且乙、丙不共同传递火炬, 则不同的火炬传递方案种数为10.

答案： 对点练2.
(1)12
(2)10
(1)每个小组安排一个女生，有2×1=2种方法，每个小组安排一名男生，有3×2=6种方法，故每个兴趣小组分配男生、女生各1人，共有2×6=12种方法.
(2)最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：1+2×2=5种；安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：2×1=2种，由分步乘法计数原理，不同的传递方案种数为5×2=10.