《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例1
(1)求点$(3,-1)$关于点$(2,4)$的对称点；
(2)(一题多解)求直线$3x - y - 4 = 0$关于点$(2,-1)$的对称直线$l$的方程.

答案： 典例1 解：
(1)设所求点为$(x_0,y_0)$，
由中点坐标公式得$\begin{cases} \frac{x_0 + 3}{2} = 2, \\ \frac{y_0 - 1}{2} = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_0 = 1, \\ y_0 = 9, \end{cases}$
即对称点为$(1,9)$。
(2)法一：设直线$l$上任意一点$M$的坐标为$(x,y)$，则此点关于点$(2,-1)$的对称点为$M_1(4 - x,-2 - y)$，且$M_1$在直线$3x - y - 4 = 0$上，
所以$3(4 - x) - (-2 - y) - 4 = 0$，即$3x - y - 10 = 0$。
所以所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。
法二：在直线$3x - y - 4 = 0$上取两点$A(0,-4)$，$B(1,-1)$，
则点$A(0,-4)$关于点$(2,-1)$的对称点为$A_1(4,2)$，点$B(1,-1)$关于点$(2,-1)$的对称点为$B_1(3,-1)$。
可得直线$A_1B_1$的方程为$3x - y - 10 = 0$，
即所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。
法三：由平面几何知识易知所求直线$l$与直线$3x - y - 4 = 0$平行，
则可设$l$的方程为$3x - y + c = 0(c \neq -4)$。
在直线$3x - y - 4 = 0$上取一点$(0,-4)$，
则点$(0,-4)$关于点$(2,-1)$的对称点$(4,2)$在直线$3x - y + c = 0$上，
所以$3×4 - 2 + c = 0$，所以$c = -10$。
所以所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。
answer:典例1 解：
(1)设所求点为$(x_0,y_0)$，
由中点坐标公式得$\begin{cases} \frac{x_0 + 3}{2} = 2, \\ \frac{y_0 - 1}{2} = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_0 = 1, \\ y_0 = 9, \end{cases}$
即对称点为$(1,9)$。
(2)法一：设直线$l$上任意一点$M$的坐标为$(x,y)$，则此点关于点$(2,-1)$的对称点为$M_1(4 - x,-2 - y)$，且$M_1$在直线$3x - y - 4 = 0$上，
所以$3(4 - x) - (-2 - y) - 4 = 0$，即$3x - y - 10 = 0$。
所以所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。
法二：在直线$3x - y - 4 = 0$上取两点$A(0,-4)$，$B(1,-1)$，
则点$A(0,-4)$关于点$(2,-1)$的对称点为$A_1(4,2)$，点$B(1,-1)$关于点$(2,-1)$的对称点为$B_1(3,-1)$。
可得直线$A_1B_1$的方程为$3x - y - 10 = 0$，
即所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。
法三：由平面几何知识易知所求直线$l$与直线$3x - y - 4 = 0$平行，
则可设$l$的方程为$3x - y + c = 0(c \neq -4)$。
在直线$3x - y - 4 = 0$上取一点$(0,-4)$，
则点$(0,-4)$关于点$(2,-1)$的对称点$(4,2)$在直线$3x - y + c = 0$上，
所以$3×4 - 2 + c = 0$，所以$c = -10$。
所以所求直线$l$的方程为$3x - y - 10 = 0$。

(1)已知不同的两点$P(a,-b)$与$Q(b + 1,a - 1)$关于点$(3,4)$对称，则$ab=$（B）
A.14
B.-14
C.5
D.-5

答案：
(1)B
(1)由题意知$\frac{\frac{a + b}{2} + 1}{2} = 3$，$\frac{\frac{a - b}{2} - 1}{2} = 4$，
即$\begin{cases} a + b = 5, \\ a - b = 9, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 7, \\ b = -2, \end{cases}$
故$ab = 7×(-2) = -14$。故选B。

(2)与直线$2x + 3y - 6 = 0$关于点$(1,-1)$对称的直线方程是（D）
A.$3x - 2y + 2 = 0$
B.$2x + 3y + 7 = 0$
C.$3x - 2y - 12 = 0$
D.$2x + 3y + 8 = 0$

答案：
(2)D
(2)由平面几何知识易知求直线与已知直线$2x + 3y - 6 = 0$平行，
可设所求直线方程为$2x + 3y + C = 0(C \neq -6)$。在直线$2x + 3y - 6 = 0$
上任取一点$(3,0)$，则点$(3,0)$关于点$(1,-1)$的对称点$(-1,-2)$必在
所求直线上，所以$2×(-1) + 3×(-2) + C = 0$，解得$C = 8$。所以所求
直线方程是$2x + 3y + 8 = 0$。故选D。

典例2
已知直线$l:y = 3x + 3$，求：
(1)点$P(4,5)$关于$l$的对称点的坐标；
(2)直线$y = x - 2$关于$l$的对称直线的方程.

答案： 典例2 解：
(1)设点$P$关于直线$l$的对称点为$P'(x',y')$，
则线段$PP'$的中点在直线$l$上，且直线$PP'$垂直于直线$l$，
即$\begin{cases} \frac{y' + 5}{2} = 3×\frac{x' + 4}{2} + 3, \\ \frac{y' - 5}{x' - 4}×3 = -1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x' = -2, \\ y' = 7。\end{cases}$
所以点$P'$的坐标为$(-2,7)$。
(2)解方程组$\begin{cases} y = 3x + 3, \\ y = x - 2, \end{cases}$得$\begin{cases} x = -\frac{5}{2}, \\ y = -\frac{9}{2}，\end{cases}$
则点$(-\frac{5}{2},-\frac{9}{2})$在所求直线上.
在直线$y = x - 2$上任取一点$M(2,0)$，
设点$M$关于直线$l$的对称点为$M'(x_0,y_0)$，
则$\begin{cases} \frac{y_0}{2} = 3×\frac{x_0 + 2}{2} + 3, \\ \frac{y_0 - 2}{x_0 - 2}×3 = -1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_0 = -\frac{17}{5}, \\ y_0 = \frac{9}{5}，\end{cases}$
点$M'(-\frac{17}{5},\frac{9}{5})$也在所求直线上，
由两点式得直线方程为$\frac{y + \frac{9}{5}}{\frac{9}{5} + \frac{9}{2}} = \frac{x + \frac{5}{2}}{-\frac{17}{5} + \frac{5}{2}}$，
化简得$7x + y + 22 = 0$，即为所求直线方程.