《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 2 （链教材 P4 例 1，P6 例 3）
（1）已知两条直线的倾斜角分别为 $ \frac{\pi}{3} $，$ \frac{3\pi}{4} $，求这两条直线的斜率；
（2）已知 $ A(3, 2) $，$ B(-4, 1) $，求直线 $ AB $ 的斜率；
（3）求经过两点 $ A(2, 3) $，$ B(m, 4) $ 的直线的斜率；
（4）若 $ \frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{2\pi}{3} $，求斜率 $ k $ 的取值范围。

答案： 典例2 解：
(1)直线的斜率分别为$k₁=tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3},k₂=tan \frac{3\pi}{4}= -1.$
(2)直线AB的斜率$k_{AB}= \frac{1 - 2}{-4 - 3}= \frac{1}{7}.$
(3)当m=2时，直线AB的斜率不存在；
当m≠2时，直线AB的斜率为$k_{AB}= \frac{4 - 3}{m - 2}= \frac{1}{m - 2}.$
(4)由正切函数的性质，可得当$ \frac{\pi}{4}≤α＜ \frac{\pi}{2}$时，k=tan α≥1；当$ \frac{\pi}{2}＜α≤ \frac{2\pi}{3}$时，$k=tan α≤ - \sqrt{3}；$当$α= \frac{\pi}{2}$时，斜率k不存在.
综上，斜率k的取值范围是${k|k≤ - \sqrt{3}，或k≥1}.$特别地，当$α= \frac{\pi}{2}$时，斜率k不存在.

对点练 2. 若 $ -\sqrt{3} \leq k \leq 1 $，则倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围为${α|0≤α≤ \frac{\pi}{4}，或 \frac{2\pi}{3}≤α＜π}$。

答案： 对点练$2. {α|0≤α≤ \frac{\pi}{4}，或 \frac{2\pi}{3}≤α＜π} $由$ - \sqrt{3}≤k≤1，$可得$ - \sqrt{3}≤tan α≤1.$又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是${α|0≤α≤ \frac{\pi}{4}，或 \frac{2\pi}{3}≤α＜π}.$

问题 6. (1)什么是直线的方向向量？
(2)已知直线 $ l $ 上两点 $ A(1, 2) $，$ B(-1, 3) $，你能写出直线 $ l $ 的一个方向向量吗？若 $ A(1, 2) $，$ B(1, 3) $ 呢？

答案： 问题6.
(1)直线上的向量及与之平行的非零向量.
$(2)\overrightarrow{AB}=(-1 -1,3 -2)=(-2,1)，$$\overrightarrow{AB}=(1 -1,3 -2)=(0,1).$

新知构建

1. 直线的方向向量

如图，在直线$l$上任取两个不同的点$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$。由平面向量的知识可知，向量$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$是直线$l$的___，它的坐标是$(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$，直线的倾斜角$\alpha$、斜率$k$、方向向量$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中$x$轴的倾斜程度.它们之间的关系是$k = $________ $=$________(其中$x_{1}\neq x_{2}$).

2. 直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系

若$k$是直线$l$的斜率,则$\boldsymbol{v}=(1,k)$是它的一个________;若直线$l$的一个方向向量的坐标为$(x,y)$,其中$x\neq0$,则它的斜率$k=$________.

答案：

新知构建

1. 方向向量 $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ $\tan\alpha$

2. 方向向量 $\frac{y}{x}$

典例 3 （1）已知直线 $ l $ 经过点 $ P(1, 2) $ 和点 $ Q(-2, -2) $，则直线 $ l $ 的单位方向向量为（ ）

A.$ (-3, -4) $
B.$ \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) $
C.$ \left( \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{4}{5} \right) $
D.$ \pm \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) $

答案： 典例3
(1)D

（2）已知直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ (5, 8) $，且该直线过点 $ (1, 2) $，则直线 $ l $ 过点（ ）

A.$ (6, 10) $
B.$ (4, 8) $
C.$ (2, 4) $
D.$ \left( -2, -\frac{3}{2} \right) $

答案：
(2)A
(1)由题意得，直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(-3,-4)，$所以直线l的单位方向向量为$±\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}=±\frac{1}{5}(-3,-4)=±(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$故选D.
(2)因为直线l的一个方向向量为(5,8)，所以直线l的斜率为$\frac{8}{5}，$设直线l上一点为(x,y)，则$\frac{y - 2}{x - 1}=\frac{8}{5}(x≠1)，$将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立.故选A.

典例 3 （1）已知直线 $ l $ 经过点 $ P(1, 2) $ 和点 $ Q(-2, -2) $，则直线 $ l $ 的单位方向向量为（ ）

A.$ (-3, -4) $
B.$ \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) $
C.$ \left( \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{4}{5} \right) $
D.$ \pm \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) $

答案： 典例3
(1)D
(2)A
(1)由题意得,直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(-3,-4),$所以直线l的单位方向向量为$±\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}=±\frac{1}{5}(-3,-4)=±(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$故选D.
(2)因为直线l的一个方向向量为(5,8),所以直线l的斜率为$\frac{8}{5},$设直线l上一点为(x,y),则$\frac{y - 2}{x - 1}=\frac{8}{5}(x≠1),$将选项对应点的坐标代入此式,选项A能使等式成立.故选A.

（2）已知直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ (5, 8) $，且该直线过点 $ (1, 2) $，则直线 $ l $ 过点（ ）

A.$ (6, 10) $
B.$ (4, 8) $
C.$ (2, 4) $
D.$ \left( -2, -\frac{3}{2} \right) $

答案： 典例3
(1)D
(2)A
(1)由题意得,直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(-3,-4),$所以直线l的单位方向向量为$±\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}=±\frac{1}{5}(-3,-4)=±(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$故选D.
(2)因为直线l的一个方向向量为(5,8),所以直线l的斜率为$\frac{8}{5},$设直线l上一点为(x,y),则$\frac{y - 2}{x - 1}=\frac{8}{5}(x≠1),$将选项对应点的坐标代入此式,选项A能使等式成立.故选A.