《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 3
甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次。已知甲命中的概率是 $ \frac{3}{4} $，甲、乙都未命中的概率是 $ \frac{1}{12} $，乙、丙都命中的概率是 $ \frac{1}{4} $，若每人是否命中互不影响。
（1）求乙、丙两人各自命中的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中至少 2 人命中的概率。

答案： （1）设乙、丙两人各自命中的概率分别为$p_1,p_2$，
故$(1-\frac{3}{4})(1-p_1)=\frac{1}{12}· p_1p_2=\frac{1}{4}$，解得$p_1=\frac{2}{3}· p_2=\frac{3}{8}$，
故乙、丙两人各自命中的概率分别为$\frac{2}{3},\frac{3}{8}$.
（2）甲、乙、丙三人均命中的概率为$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{3}{8}=\frac{3}{16}$，
甲、乙、丙三人中2人命中的概率为$(1-\frac{3}{4})×\frac{2}{3}×\frac{3}{8}+\frac{3}{4}×(1-\frac{2}{3})×\frac{3}{8}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×(1-\frac{3}{8})=\frac{1}{16}+\frac{3}{32}+\frac{5}{16}=\frac{15}{32}$，
故甲、乙、丙三人中至少2人命中的概率为$\frac{3}{16}+\frac{15}{32}=\frac{21}{32}$.

（1）李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔子各 1 只，从兔窝中每次摸取 1 只，有放回地摸取 3 次，则 3 次摸取的颜色不全相同的概率为（B）
A.$ \frac{1}{9} $
B.$ \frac{8}{9} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： （1）B

（2）（2025·广东广州期末）某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考。据调查，这两项考试的合格率依次为 $ \frac{3}{4} $，$ \frac{1}{2} $，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考一次的概率为$\frac{21}{32}$。

答案： （2）$\frac{21}{32}$

1. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 $ \frac{1}{2} $，$ \frac{2}{3} $，则谜题被破解出的概率为(C)
A.$ \frac{1}{9} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{5}{6} $
D.$ 1 $

答案： 1.C

2. 袋内有质地均匀且大小相同的 3 个白球和 2 个黑球，从中有放回地摸球，用 $ A $ 表示“第一次摸得白球”，用 $ B $ 表示“第二次摸得白球”，则 $ A $ 与 $ B $ 是(B)
A. 互斥事件
B. 相互独立事件
C. 对立事件
D. 不相互独立事件

答案： 2.B

3. 如图，用 $ A $，$ B $，$ C $ 三个不同的元件连接成一个系统 $ N $。当元件 $ C $ 正常工作且元件 $ A $，$ B $ 至少有一个正常工作时，系统 $ N $ 正常工作。已知元件 $ A $，$ B $，$ C $ 正常工作的概率依次为 $ 0.8 $，$ 0.7 $，$ 0.8 $，则系统 $ N $ 能正常工作的概率为0.752。

答案： 3.0.752

4. (2025·山东淄博高二期中)甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立。设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为 $ \frac{1}{4} $，$ \frac{1}{3} $，$ \frac{1}{3} $，则甲恰好连胜两局的概率为$\frac{5}{36}$。

答案： 4.$\frac{5}{36}$