《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 方程 $x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 1 = 0$，$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 5 = 0$，$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 6 = 0$ 分别表示什么图形？

答案： 1. 对方程$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 1 = 0$配方，得$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=4$，表示以$(1,-2)$为圆心，$2$为半径的圆；对方程$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 5 = 0$配方，得$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=0$，表示点$(1,-2)$；对方程$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 6 = 0$配方，得$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=-1$，不表示任何图形。

问题 2. (1)如果方程 $x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$ 能表示圆的方程，有什么条件？
(2)当 $D^{2}+E^{2}-4F = 0$ 时，方程 $x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$ 表示什么图形？

答案： 2.
(1)对方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$进行配方，得$(x+\frac{D}{2})^{2}+(y+\frac{E}{2})^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$，当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时，方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$表示圆。
(2)当$D^{2}+E^{2}-4F = 0$时，方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$表示一个点$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。

1. 圆的一般方程
$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$（其中 $D^{2}+E^{2}-4F＞0$）称为圆的一般方程。

答案： 1. $x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$

2. 方程 $x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$ 表示的图形

$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$

答案： 2. $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$ $\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$

[微思考] 1. 对于二元二次方程 $Ax^{2}+Cxy + By^{2}+Dx + Ey + F = 0$ 而言，表示圆的代数特征是什么？

答案： 1. $x^{2},y^{2}$的系数相同，且不等于$0$，即$A = B\neq0$；不含$xy$这样的二次项，即$C = 0$。

2. 能从代数角度说明“不共线的三点可以确定一个圆”吗？

答案： 2. 可以.把不共线的三个点的坐标代入圆的一般方程(或标准方程)，所得的关于$D,E,F$的方程组只有唯一一组解。

典例 1 (1)若 $x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 5k = 0$ 表示圆，则实数 $k$ 的取值范围是(B)
A.$\mathbf{R}$
B.$(-\infty,1)$
C.$(-\infty,1$
D.$1,+\infty)$

答案： 1. B

(2)(双空题)已知 $a\in\mathbf{R}$，方程 $a^{2}x^{2}+(a + 2)y^{2}+4x + 8y + 5a = 0$ 表示圆，则圆心坐标是$(-2,-4)$，半径是5。

答案： 2. $(-2,-4)$ 5

________
________
________

答案：
(1)由方程$x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 5k = 0$可得，$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=5 - 5k$，此方程表示圆，则$5 - 5k＞0$，解得$k＜1$.故选B.
(2)由题可得$a^{2}=a + 2$，解得$a=-1$或$a = 2$.当$a=-1$时，方程为$x^{2}+y^{2}+4x + 8y - 5 = 0$表示圆，故圆心为$(-2,-4)$，半径为$5$.当$a = 2$时，方程为$4x^{2}+4y^{2}+4x + 8y + 10 = 0$，即$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y + 1)^{2}=-\frac{5}{4}$，不表示圆。