《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

答案： 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（或轨迹）叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。确定圆的要素：圆心和半径。关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

问题 2. 已知圆 $ C $ 的圆心为 $ C(a,b) $，半径为 $ r $，如何推导圆的方程？

答案：
如图所示，设$P(x,y)$为圆上任意一点，则$\vert PC\vert =r$，根据两点间的距离公式，得$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=r$，将上式两边平方、整理，得方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。

1. 圆的定义
圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（或轨迹），其中定点是圆心，定长就是半径。用集合表示为$\{ P||PC| = r \}$。

答案： 1.等于定长 圆心 定长

2. 圆的标准方程
（1）圆的标准方程：以点 $ C(a,b) $ 为圆心，$ r $ 为半径的圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。
（2）确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径。

答案： 2.
(1)$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

3. 圆 $ x^{2}+y^{2}=r^{2}(r＞0) $ 的简单几何性质
（1）范围：$ |x| \leq $$r$，$ |y| \leq $$r$。
（2）对称性：圆 $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点。

答案： 3.
(1)$r$ $r$

典例 1 (多选题)下列说法错误的是(ABD)
A.圆 $ (x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=5 $ 的圆心为 $ (1,2) $，半径为 $ 5 $
B.圆 $ (x + 2)^{2}+y^{2}=b^{2}(b \neq 0) $ 的圆心为 $ (-2,0) $，半径为 $ b $
C.圆 $ (x - \sqrt{3})^{2}+(y + \sqrt{2})^{2}=2 $ 的圆心为 $ (\sqrt{3},-\sqrt{2}) $，半径为 $ \sqrt{2} $
D.圆 $ (x + 2)^{2}+(y + 2)^{2}=5 $ 的圆心为 $ (2,2) $，半径为 $ \sqrt{5} $

答案： ABD 圆$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$的圆心为$(1,2)$，半径为$\sqrt{5}$，故A错误；圆$(x + 2)^2 + y^2 = b^2(b\neq0)$的圆心为$(-2,0)$，半径为$\vert b\vert$，故B错误；C正确；圆$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5$的圆心为$(-2,-2)$，半径为$\sqrt{5}$，故D错误。 故选ABD。

典例 2 (一题多解，链教材 P30 例 3)求过点 $ A(1,-1) $，$ B(-1,1) $ 且圆心在直线 $ x + y - 2 = 0 $ 上的圆的标准方程。

答案： 解：法一：设所求圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，$由已知条件知\begin{cases}(1 - a)^2 + (-1 - b)^2 = r^2,\-1 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2,\\a + b - 2 = 0,\\r^2 = 4.\end{cases}解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1,\\r^2 = 4.\end{cases}$故所求圆的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4。$法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，$k_{AB}=\frac{1 - (-1)}{-1 - 1} = -1，$所以弦AB的垂直平分线的斜率为k = 1，所以AB的垂直平分线的方程为y - 0 = 1·(x - 0)，即y = x。则圆心是直线y = x与x + y - 2 = 0的交点，由$\begin{cases}y = x,\\x + y - 2 = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$即圆心为(1,1)，圆的半径为$\sqrt{(1 - 1)^2 + [1 - (-1)]^2} = 2，$故所求圆的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4。$