《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 从 0，1，2，3 这 4 个数字中，每次取出 3 个数排成一个三位数，写出所有的三位数.
(2) 从集合 $\{1,2,3,5,7,9\}$ 中任取两个不同元素分别作为直线方程 $Ax + By = 0$ 中的系数 $A$，$B$，则所得直线有 ______ 条.

答案：

(1)解：(树形图法)
　　　　　　　
所有的三位数有102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321,共18个.
(2)28 从集合中任取2个数作为A,B,共有$A_{6}^{2} = 30$种情况,但是A,B取1,3对应的直线与A,B取3,9对应的直线相同,所以所得直线有$A_{6}^{2} - 2 = 28$条.

典例 4
(1)(多选题)下列等式中，成立的有(ACD)
A.$A_{n}^{m} = nA_{n - 1}^{m - 1}$
B.$A_{n}^{m} = mA_{n - 1}^{m - 1}$
C.$\frac{1}{n - m}A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$
D.$A_{n}^{m} + mA_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$

答案：
(1)对于A,$A_{n}^{m} = \frac {n!}{(n - m)!} = nA_{n - 1}^{m - 1}$,故A正确;对于B,$A_{n}^{m} = \frac {n!}{(n - m)!}$,而$mA_{n}^{m - 1} = m· \frac {(n - 1)!}{[(n - 1) - (m - 1)]!}$,故B错误;对于C,$\frac {1}{n - m}A_{n}^{m + 1} = \frac {1}{n - m}· \frac {n!}{(n - m - 1)!} = \frac {n!}{(n - m)!} = A_{n}^{m}$,故C正确;对于D,$A_{n}^{m} + mA_{n}^{m - 1} = \frac {n!}{(n - m)!} + \frac {m· n!}{(n - m + 1)!} = \frac {(n - m + 1)· n! + m· n!}{(n - m + 1)!} = \frac {(n + 1)!}{(n - m + 1)!} = A_{n + 1}^{m + 1}$,故D正确.故选ACD.

(2) 不等式 $3A_{x + 2}^{2} + 12A_{x}^{2} \leq 11A_{x + 1}^{2}$，其中 $x \in \mathbf{N}_{+}$ 的解集为 ______.

答案：
(2)$\{2,3\}$
由题知,$x\geq 2$,且$x\in \mathbf{N}_{+}$,又$3A_{x + 2}^{2} + 12A_{x}^{2} \leq 11A_{x + 1}^{2} \Leftrightarrow 3(x + 2)(x + 1) + 12x(x - 1) \leq 11(x + 1)x$,即$2x^{2} - 7x + 3 \leq 0$,解得$\frac {1}{2} \leq x \leq 3$,$x = 2$或$x = 3$,所以,原不等式的解集为$\{2,3\}$.

(1) 已知 $3A_{8}^{x} = 4A_{9}^{x - 1}$，则 $x$ 等于（A）
A.6
B.13
C.6 或 13
D.12

答案： A 由题意得$3× \frac {8!}{(8 - x)!} = 4× \frac {9!}{(10 - x)!}$,化简可得$3 = 4× \frac {9}{(10 - x)(9 - x)}$,解得$x = 13$或6,因为$\begin{cases}x \leq 8,\\x - 1 \leq 9,\end{cases}$所以$x \leq 8$且$x\in \mathbf{N}_{+}$,故$x = 6$.故选A.

(2) ① 证明：$\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{n}{(n + 1)!}$；
② 化简：$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + ·s + \frac{2025}{2026!}$.

答案： ①证明：左边$= \frac {1}{n!} - \frac {1}{(n + 1)!} = \frac {n + 1}{(n + 1)!} - \frac {1}{(n + 1)!} = \frac {n}{(n + 1)!} =$右边,所以得证.
②原式$= (\frac {1}{1!} - \frac {1}{2!}) + (\frac {1}{2!} - \frac {1}{3!}) + ·s + (\frac {1}{2025!} - \frac {1}{2026!}) = 1 - \frac {1}{2026!}$.

1. 下列问题是排列问题的是（B）
A.10 名同学聚会，每两人握手一次，一共握多少次手？
B.10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C.平面上有 5 个点，任意三点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？
D.从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？

答案： B

2. 从 1，2，3，4 这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（B）
A.9 个
B.12 个
C.15 个
D.18 个

答案： B

3. 若 $A_{2n}^{3} = 10A_{n}^{3}$，则正整数 $n = $8.

答案： 8

4. 求证：$A_{n + 1}^{n + 1} = A_{n + 1}^{n} = (n + 1)A_{n}^{n}$.

答案： 证明：$A_{n + 1}^{n + 1} = (n + 1)× n× (n - 1)× ·s × 3× 2× 1$,$A_{n + 1}^{n} = (n + 1)× n× (n - 1)× ·s × 3× 2× 1× (n + 1 - n)× 1 = (n + 1)× n× (n - 1)× ·s × 3× 2× 1$,综上,$A_{n + 1}^{n + 1} = A_{n + 1}^{n} = (n + 1)A_{n}^{n}$.