《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 在数轴上确定一个点的位置需要几个实数?在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数?

答案： 问题1.在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对$(x,y)$才能确定一个点的位置。

问题2. 如果点 $ P $ 是空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢?

答案：
问题2.类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点$P$在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点$P$位置的三元有序实数组即可。
如图所示，当点$P$不在任何坐标平面上时，过点$P$分别作垂直于$x$轴、$y$轴和$z$轴的平面，依次交$x$轴、$y$轴和$z$轴于点$A$、点$B$和点$C$，则点$A,B,C$分别是点$P$在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的投影。设点$A$在$x$轴上、点$B$在$y$轴上、点$C$在$z$轴上的坐标依次为$a,b,c$，那么点$P$就对应唯一的三元有序实数组$(a,b,c)$。

1. 空间直角坐标系及相关概念
过空间任意一点 $ O $，作三条两两垂直的直线，并以点 $ O $ 为原点，在三条直线上分别建立数轴：$ x $ 轴、$ y $ 轴和 $ z $ 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 $ O - xyz $. 点 $ O $ 叫作坐标原点，$ x $ 轴(横轴)、$ y $ 轴(纵轴)、$ z $ 轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为$xOy$平面、$yOz$平面、$zOx$平面.

答案： 1.坐标轴 坐标平面$xOy$ $yOz$ $zOx$

2. 右手系
一般是将 $ x $ 轴和 $ y $ 轴放置在水平面上，那么 $ z $ 轴就垂直于水平面. 它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向$x$轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 $ 90^{\circ} $ 指向$y$轴正方向，此时大拇指的指向即为$z$轴正方向. 我们也称这样的坐标系为右手系.

答案： 2.$x$轴 $y$轴 $z$轴

3. 点在空间直角坐标系中的坐标
(1)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点 $ P $，都可以用唯一的一个三元有序实数组 $ (x,y,z) $ 来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组 $ (x,y,z) $，都可以确定空间中的一个点 $ P $. 这样，在空间直角坐标系中，任意一点 $ P $ 与三元有序实数组 $ (x,y,z) $ 之间，就建立了一一对应的关系：$ P \leftrightarrow (x,y,z) $.
三元有序实数组($x,y,z$)叫作点 $ P $ 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 $ P $($x,y,z$)，其中$x$叫作点 $ P $ 的横坐标，$y$叫作点 $ P $ 的纵坐标，$z$叫作点 $ P $ 的竖坐标.
(2)特殊点的三元有序实数组

$(0,y,0)$ $(x,y,0)$ $(x,0,z)$

答案： 3.
(1)唯一 $x,y,z$ $x,y,z$ $x$ $y$ $z$
(2)$(0,y,0)$ $(x,y,0)$ $(x,0,z)$