《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

如图，在四棱锥 $ S - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是矩形，$ AB = a $，$ AD = 2 $，$ SA = 1 $，且 $ SA \perp $ 底面 $ ABCD $，若边 $ BC $ 上存在异于 $ B,C $ 的一点 $ P $ 使得 $ PS \perp PD $.
(1) 求 $ a $ 的最大值；
(2) 当 $ a $ 取得最大值时，求异面直线 $ AP $ 与 $ SD $ 所成角的余弦值.

答案：
对点练5.解：如图所示，以$A$为坐标原点，$AB,AD,AS$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系.
设$BP=x(0＜x＜2)$，则$A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0),P(a,x,0)$，
所以$\overrightarrow{PS}=(-a,-x,1),\overrightarrow{PD}=(-a,2-x,0)$.
(1)因为$\overrightarrow{PS}\perp\overrightarrow{PD}$，所以$\overrightarrow{PS}·\overrightarrow{PD}=0$，
所以$a^{2}-x(2-x)=0$，即$a^{2}=-(x-1)^{2}+1$，
所以当$x=1$时，$a$取得最大值$1$.
(2)由
(1)知，当$a$取得最大值$1$时，$\overrightarrow{AP}=(1,1,0),\overrightarrow{SD}=(0,2,-1)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{AP},\overrightarrow{SD}\rangle=\frac{\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{SD}}{|\overrightarrow{AP}|·|\overrightarrow{SD}|}=\frac{1×0 + 1×2+0×(-1)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}×\sqrt{0^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即异面直线$AP$与$SD$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

1. 已知向量 $ \boldsymbol{a} = (4,-2,-4) $，$ \boldsymbol{b} = (6,-3,2) $，则下列结论正确的是（D）
A.$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (10,-5,-6) $
B.$ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2,-1,-6) $
C.$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 10 $
D.$ |\boldsymbol{a}| = 6 $

答案： 1.D

2. （多选题）已知 $ \boldsymbol{a} = (2,3,-1) $，$ \boldsymbol{b} = (2,0,4) $，$ \boldsymbol{c} = (-4,-6,2) $，则下列结论错误的是（ABD）
A.$ \boldsymbol{b} // \boldsymbol{c} $
B.$ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $
C.$ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $
D.$ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c} $

答案： 2.ABD

3. 已知 $ A(4,1,3) $，$ B(2,-5,1) $，$ C $ 为线段 $ AB $ 上一点，且 $ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} $，则 $ C $ 的坐标为（C）
A.$ \left( \frac{7}{2},-\frac{1}{2},\frac{5}{2} \right) $
B.$ \left( \frac{8}{3},-3,2 \right) $
C.$ \left( \frac{10}{3},-1,\frac{7}{3} \right) $
D.$ \left( \frac{5}{2},-\frac{7}{2},\frac{3}{2} \right) $

答案： 3.C

4. 已知空间三点 $ A(1,1,1) $，$ B(-1,0,4) $，$ C(2,-2,3) $，则 $ \overrightarrow{AB} $ 与 $ \overrightarrow{CA} $ 的夹角的大小是$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 4.$\frac{2\pi}{3}$