《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

（1）现有 3 幅不同的油画，4 幅不同的国画，5 幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（B）
A.10 种
B.12 种
C.20 种
D.36 种

答案： （1）B
(1)依题意，不同的选法共有3+4+5=12种.
故选B.

（2）自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字 1 的自然数的个数为19.

答案： （2）19
(2)一位数中含有数字1的有1个；两位数中十位为1的有10个；十位不为1，个位数字为1的自然数有8个，故共有1+10+8=19个.

一名志愿者从 $ A $ 地赶赴 $ B $ 地为游客提供导游服务，但需经过 $ C $ 地，已知从 $ A $ 地到 $ C $ 地每天有 7 个航班，从 $ C $ 地到 $ B $ 地每天有 6 趟火车.
问题 3. 该志愿者从 $ A $ 地到 $ B $ 地需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？
问题 4. 该志愿者从 $ A $ 地到 $ B $ 地共有多少种不同的方法？

答案： 问题3.两个步骤；第一步有7种方法，第二步有6种方法.
问题4.7×6=42种方法.

分步乘法计数原理
完成一件事需要经过 $ n $ 个步骤，缺一不可，做第 1 步有 $ m_{1} $ 种不同的方法，做第 2 步有 $ m_{2} $ 种不同的方法……做第 $ n $ 步有 $ m_{n} $ 种不同的方法，那么，完成这件事共有 $ N = $m₁ · m₂ · ⋯ · mₙ种方法.（也称“乘法原理”）
微提醒
（1）完成一件事有多个步骤，缺一不可.（2）每一步都有若干种方法.

答案： m₁ · m₂ · ⋯ · mₙ

典例 2
一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 12 张不同的中国联通手机卡. 某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？

答案： 典例2 解：得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法.
第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法.
根据分步乘法计数原理共有10×12=120(种)取法.

（1）甲从 3 个短跑项目和 5 个球类项目中各选 1 个项目参加，则不同的选择方案共有（B）
A.8 种
B.15 种
C.20 种
D.24 种

答案： （1）B
(1)不同的选择方案共有3×5=15种.故选B.

（2）食堂有大荤菜 3 个、小荤菜 3 个、素菜 4 个、汤 1 个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有36种不同的搭配方式.

答案： （2）36
(2)依题意得，选择大荤菜有3种方法，小荤菜有3种方法，素菜有4种方法，汤有1种方法，根据分步乘法原理可得，一共有3×3×4×1=36种不同的搭配方式.