《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 1 (1)(多选题)已知平面上点 $ A(-2,0) $，$ B(2,0) $，动点 $ M(x,y) $，以下叙述正确的是（ACD）
A.若 $ |MA|^{2}-|MB|^{2}=3 $，则 $ M $ 的轨迹是一条直线
B.若 $ |MA|-|MB|=4 $，则 $ M $ 的轨迹是双曲线的一支
C.若 $ |MA|=k|MB| $（$ k $ 为正常数，且 $ k\neq 1 $），则 $ M $ 的轨迹一定是圆
D.若 $ |MA|+|MB|=8 $，则 $ M $ 的轨迹是椭圆

答案： ACD
(1)对于A，根据题意可得$(x + 2)^2 + y^2 - [(x - 2)^2 + y^2] = 3$，整理可得$x = \frac{3}{8}$，故M的轨迹是一条直线，故A正确；对于B，$|MA| - |MB| = 4 = |AB|$，故点M的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，故B错误；对于C，$|MA| = k|MB|(k \neq 1,k ＞ 0)$，即$(x + 2)^2 + y^2 = k^2[(x - 2)^2 + y^2]$，整理可得$\left[x - \frac{2(k^2 + 1)}{k^2 - 1}\right]^2 + y^2 = \frac{16k^2}{(k^2 - 1)^2}$，其表示圆心为$\left(\frac{2(k^2 + 1)}{k^2 - 1},0\right)$，半径为$\frac{4k}{|k^2 - 1|}$的圆，故C正确；对于D，$|MA| + |MB| = 8 ＞ |AB|$，故其轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为8的椭圆，故D正确.故选ACD.

(2)已知平面内两点 $ F_{1}(-1,2) $，$ F_{2}(3,5) $，且动点 $ M $ 满足 $ |MF_{1}|-|MF_{2}|=5 $，则 $ M $ 的轨迹为____。

答案： 一条射线
解析 由$|F_1F_2| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = 5$，$|MF_1| - |MF_2| = |F_1F_2|$，又$|MF_1| ＞ |MF_2|$，故M的轨迹为一条射线.

对点练 1 (1)(2023·全国甲卷)设 $ F_{1} $，$ F_{2} $ 为椭圆 $ C:\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1 $ 的两个焦点，点 $ P $ 在 $ C $ 上，若 $ \overrightarrow{PF_{1}}·\overrightarrow{PF_{2}}=0 $，则 $ |PF_{1}|·|PF_{2}|= $（B）
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案：
(1)B
法一：因为$\overrightarrow{PF_1} · \overrightarrow{PF_2} = 0$，所以$\angle F_1PF_2 = 90^{\circ}$，从而$S_{\triangle F_1PF_2} = b^2\tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} × |PF_1| · |PF_2|$，所以$|PF_1| · |PF_2| = 2$，故选B.
法二：因为$\overrightarrow{PF_1} · \overrightarrow{PF_2} = 0$，所以$\angle F_1PF_2 = 90^{\circ}$，由椭圆方程可知，$c^2 = 5 - 1 = 4 \Rightarrow c = 2$，所以$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 16$，又$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 2\sqrt{5}$，平方得：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1| · |PF_2| = 20$，所以$|PF_1| · |PF_2| = 2$，故选B.

(2)已知动圆 $ C $ 与圆 $ C_{1}:(x - 3)^{2}+y^{2}=4 $，圆 $ C_{2}:(x + 3)^{2}+y^{2}=4 $ 中的一个外切、一个内切，则动圆圆心 $ C $ 的轨迹方程为____。

答案：
(2)$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$
设动圆圆心C的坐标为$(x,y)$，半径为$r$，由圆$C_1$：$(x - 3)^2 + y^2 = 4$，可得圆心$C_1(3,0)$，半径$r_1 = 2$，由圆$C_2$：$(x + 3)^2 + y^2 = 4$，可得圆心$C_2(-3,0)$，半径$r_2 = 2$，根据题意，可得$\begin{cases} |CC_1| = r + 2, \\ |CC_2| = r - 2, \end{cases}$或$\begin{cases} |CC_1| = r - 2, \\ |CC_2| = r + 2, \end{cases}$所以$||CC_1| - |CC_2|| = 4$或$||CC_2| - |CC_1|| = 4$，可得$||CC_1| - |CC_2|| = 4$，又因为$|C_1C_2| = 6$，可得$||CC_1| - |CC_2|| = 4 ＜ |C_1C_2| = 6$，根据双曲线的定义，可得点C的轨迹为以$C_1$，$C_2$为焦点的双曲线，且$2a = 4$，$2c = 6$，所以$a = 2$，$c = 3$，则$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5}$，所以所求动圆圆心C的轨迹方程为$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$.

典例 2 (1)已知抛物线 $ y^{2}=8x $ 的准线过双曲线 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0) $ 的一个焦点，且双曲线的离心率为 $ 2 $，则该双曲线的方程为$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$。
(2)在圆 $ x^{2}+y^{2}=4 $ 上任取一点 $ P $，设点 $ P $ 在 $ x $ 轴上的正投影为点 $ D $。当点 $ P $ 在圆上运动时，动点 $ M $ 满足 $ \overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{MD} $，动点 $ M $ 形成的轨迹为曲线 $ C $。求曲线 $ C $ 的方程。

答案：
(1)$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$
(2)解：法一：由$\overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{MD}$，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为$(x,y)$，则点P的坐标为$(x,2y)$，因为点P在圆$x^2 + y^2 = 4$上，所以$x^2 + (2y)^2 = 4$，所以曲线C的方程为$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$.
法二：设点M的坐标为$(x,y)$，点P的坐标为$(x_0,y_0)$，则$D(x_0,0)$，由$\overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{MD}$，得$x_0 = x$，$y_0 = 2y$，因为点$P(x_0,y_0)$在圆$x^2 + y^2 = 4$上，所以$x_0^2 + y_0^2 = 4$，(*)把$x_0 = x$，$y_0 = 2y$代入(*)式，得$x^2 + 4y^2 = 4$，所以曲线C的方程为$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$.