《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例2已知($\sqrt{x}$+$\frac{2}{x²}$)ⁿ的展开式中，只有第6项的二项式系数最大,则该展开式中系数最大的项为$15360x^{- \frac{11}{2}}$.

答案： $15360x^{- \frac{n}{2}}$

大值为a,系数的最大值为b,则$\frac{b}{a}$=$\frac{128}{5}$.

答案： $\frac{128}{5}$

问题3.在二项展开式(a+b)”=C%a”+Ca”−1b+
C²an−2b²+…+Can−kbk+….+Cbn”中，令a=
b=1,可得到什么结论？令a=1,b=−1,可得到
什么结论？

答案： $(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ·s + C_n^n = 2^n;C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ·s = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ·s = 2^{n - 1}.$

1.C°+C+...+C”=2^n.
2.C+C²+C+...=C+C3+C5+...=$2^{n - 1}$.

答案： $1.2^n 2.2^{n - 1}$

典例3若(1−2x)”(n∈N+)的展开式中x²的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为32.(以数字作答)

答案： 32

系数之和是64,则它的展开式的中间项为(C)
A.−35×4
B.35×3
C.−35×4和35×3
D.−35×3和35×4

答案： C

典例4设(2−3x)100=ao+a1x+a2x²+…+a100
x100,求下列各式的值:
(1)ao;
(2)a1+a2+a3+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99.

[变式探究]
1.(变设问)条件不变,求|ao|+|a1|+|a2|十...+
|a100|的值.
2.(变设问)条件不变,求(ao十a2+a4+…−+a100)2
一(a1+a3+……+a99)²的值.

答案： 典例4
解：
(1)在$(2 - 3x)^{100} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_{100}x^{100}$中,令x = 0,得$a_0 = 2^{100}.$
(2)令x = 1,得$a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_{100} = (2 - 3)^{100} = 1,①$所以$a_1 + a_2 + ·s + a_{100} = 1 - 2^{100}.$
(3)令x = -1,得$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 - ·s - a_{99} + a_{100} = (2 + 3)^{100} = 5^{100} ②,$①两式相减,得$a_1 + a_3 + a_5 + ·s + a_{99} = \frac{1 - 5^{100}}{2}.$
变式探究
1.解：对$(2 - 3x)^{100} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_{100}x^{100},$其展开式的通项公式为$T_{k + 1} = C_{100}^k2^{100 - k}(-3x)^k = (-3)^k × 2^{100 - k}C_{100}^kx^k,$所以x是奇数次方的项的系数为负,x是偶数次方的项的系数为正,所以|$a_0$| + |$a_1$| + |$a_2$| + ·s + |$a_{100}$|$ = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ·s - a_{99} + a_{100} = 5^{100}.$2.解：$(a_0 + a_2 + a_4 + ·s + a_{100})^2 - (a_1 + a_3 + a_5 + ·s + a_{99})^2$$=(a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_{100})(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ·s - a_{99} + a_{100})$$=1 · 5^{100} = 5^{100}.$