《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 对于空间任意两个非零向量 $a$，$b$，“$a// b$”是“$\langle a,b\rangle =0$”的（B）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)B；

(2)（双空题）在正四面体 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 的夹角等于 ______；$\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 的夹角等于 ______。

答案：
(2)120°；60°

问题 2. 类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？

答案： 空间两向量数量积的定义：已知两个非零空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，它们的夹角为$\theta$，把数量$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$叫做$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积，记作$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$；规定零向量与任意向量的数量积为$0$。
空间向量数量积的运算律：
1. 交换律：$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{a}$；
2. 数乘结合律：$(\lambda\boldsymbol{a})·\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}·(\lambda\boldsymbol{b})$（$\lambda$为实数）；
3. 分配律：$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}$。

1. 空间向量数量积的定义
已知两个空间向量 $a$，$b$，把 $|a||b|\cos\langle a,b\rangle$ 叫作 $a$ 与 $b$ 的数量积，记作 $a· b$，即 $a· b = |a||b|\cos\langle a,b\rangle$。零向量与任意向量的数量积为 $0$，即 $0· a = $0。
2. 数量积的结论
(1) $\cos\langle a,b\rangle = $$\frac{a · b}{|a||b|}$（$a\neq 0$，$b\neq 0$）。
(2) $|a| = \sqrt{a· a} = \sqrt{a^2}$，$|a|^2 = a^2$。
(3) $a\perp b\Leftrightarrow $$a · b = 0$。
3. 数量积的运算律

答案： 1. $0$；
2.
(1) $\frac{a · b}{|a||b|}$；
(3) $a · b = 0$；

对于不共线向量 $a$，$b$，$c$，$(a· b)· c = a· (b· c)$ 成立吗？为什么？

答案： 不成立

典例 2
如图，已知空间四边形 $ABCD$ 的每条边和对角线长都等于 $1$，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，计算：

(1) $\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{BA}$；
(2) $\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{BD}$；
(3) $\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{DC}$；
(4) $\overrightarrow{BF}· \overrightarrow{CE}$。

答案：
(1)$\frac{1}{4}$；
(2)$\frac{1}{2}$；
(3)$-\frac{1}{4}$；
(4)$-\frac{1}{8}$。

在正四面体 $P - ABC$ 中，棱长为 $2$，且 $E$ 是棱 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{PE}· \overrightarrow{BC}$ 的值为（A）
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$7$

答案： A