《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 4
已知点 $ P $ 是抛物线 $ y^{2} = 2x $ 上的一个动点，求点 $ P $ 到点 $ (0,2) $ 的距离与 $ P $ 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
听课笔记：
变式探究
1. （变条件，变设问）若将本例中的“点 $ (0,2) $”改为“点 $ A(3,2) $”，求 $ |PA| + |PF| $ 的最小值.
2. （变条件，变设问）若将本例中的“点 $ (0,2) $”换成“直线 $ l_{1}:3x - 4y + \dfrac{7}{2} = 0 $”，求点 $ P $ 到直线 $ 3x - 4y + \dfrac{7}{2} = 0 $ 的距离与 $ P $ 到该抛物线的准线的距离之和的最小值.

答案：
典例4 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点$F(\frac{1}{2},0)$三点共线时距离之和最小，所以$\sqrt{(0 - \frac{1}{2})^{2} + (2 - 0)^{2}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$距离之和的最小值为$\frac{\sqrt{17}}{2}$.
[变式探究]1.解：将$x = 3$代入$y^{2} = 2x$，得$y = \pm\sqrt{6}$.所以点A在抛物线$y^{2} = 2x$的内部.设点P为其上一点，点P到准线(设为l)$x = -\frac{1}{2}$的距离为d，则$\vert PA \vert + \vert PF \vert = \vert PA \vert + d$.由图可知，当$PA \perp l$时，$\vert PA \vert + d$最小，最小值是$\frac{7}{2}$.即$\vert PA \vert + \vert PF \vert$的最小值是$\frac{7}{2}$.
2.解：如图所示，作$PA_1$垂直于直线$l_1$于点$A_1$，作PQ垂直于准线l于点Q，$\vert PA \vert + \vert PQ \vert = \vert PA_1 \vert + \vert PF \vert \geqslant \vert A_1F \vert$.$\vert A_1F \vert$的最小值为点F到直线$3x - 4y + \frac{7}{2} = 0$的距离$d = \frac{\vert 3 × \frac{1}{2} + \frac{7}{2} \vert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = 1$.即所求最小值为1.

已知抛物线的方程为 $ y^{2} = - 4x $，直线 $ l $ 的方程为 $ 2x + y - 4 = 0 $，在抛物线上有一动点 $ A $，点 $ A $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ m $，点 $ A $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ n $，则 $ m + n $ 的最小值为____.

答案：
对点练4.$\frac{6\sqrt{5}}{5} - 1$ 由抛物线的方程为$y^{2} = -4x$，得其焦点F(-1,0)，准线方程为$x = 1$.如图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为H，交y轴于点B，则$\vert AB \vert = m$，$\vert AC \vert = m + 1$.根据抛物线的定义可知，$\vert AF \vert = \vert AC \vert = m + 1$，所以$m + n = \vert AF \vert + \vert AH \vert - 1$.过点F作直线l的垂线，垂足为$H_1$，则$\vert FH_1 \vert = \frac{\vert -2 - 4 \vert}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$.当点A为垂线段$FH_1$与抛物线的交点时，$\vert AF \vert + \vert AH \vert$最小，最小值为$\vert FH_1 \vert = \frac{6\sqrt{5}}{5}$，此时$m + n$取得最小值$\frac{6\sqrt{5}}{5} - 1$.

1. 抛物线 $ y = -\dfrac{1}{8}x^{2} $ 的准线方程是 （C）
A.$ x = \dfrac{1}{32} $
B.$ x = \dfrac{1}{2} $
C.$ y = 2 $
D.$ y = 4 $

答案： 1.C

2. 已知抛物线的焦点坐标是 $ (0,-3) $，则抛物线的标准方程是 （A）
A.$ x^{2} = - 12y $
B.$ x^{2} = 12y $
C.$ y^{2} = - 12x $
D.$ y^{2} = 12x $

答案： 2.A

3. 若抛物线 $ y^{2} = - 2px(p ＞ 0) $ 上有一点 $ M $，其横坐标为 $ - 9 $，它到焦点的距离为 $ 10 $，则点 $ M $ 的坐标为(-9,6)或(-9,-6).

答案： 3.(-9,6)或(-9,-6)

4. 已知点 $ F(0,4) $ 是抛物线 $ C:x^{2} = 2py(p ＞ 0) $ 的焦点，点 $ P(2,3) $，且点 $ M $ 为抛物线 $ C $ 上任意一点，则 $ |MF| + |MP| $ 的最小值为7.

答案： 4.7