《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

(2)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律。由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为____。

答案：

(2)24
(2)梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有2×8=16(个)，若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有1×8=8(个)，所以梯形的个数是16+8=24(个).

典例2
(1)天上有三颗星星，地上有四个孩子。每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的情况种数为（C）
A.9
B.18
C.36
D.54

答案： 典例2
(1)C
(1)由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星星，有$C_{4}^{2}C_{3}^{1}A_{2}^{2}=36$种情况.故选C.

(2)某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品。若每天只能检测1种药品，且降压类药品不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为2016。

答案：
(2)2016
(2)根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，可分三步分析；先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列，有$A_{4}^{4}=24$种情况，其排好后有5个空位可选，再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测，有$C_{3}^{2}A_{2}^{2}=6$种，最后和另外1种抗生素类药品，安排在5个空位中，有$A_{5}^{2}=20$种排法，此时，共有24×6×20=2880种不同的排法，其中1种降压类药品安排在第1天或第7天检测，有$2C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{3}A_{4}^{4}=864，$综上可得，共有2880 - 864=2016种不同的排法.

(1)某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目。假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频。一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（A）
A.192种
B.168种
C.72种
D.144种

答案： 对点练2
(1)A
(1)根据题意，分两步进行分析：第一步，先从4个视频中选3个，有$C_{4}^{3}$种方法；2篇文章全选，有$C_{2}^{2}$种方法；第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有$A_{2}^{2}$种方法；第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有$A_{4}^{4}$种方法.故满足题意的学法有$C_{4}^{3}C_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{4}=192$种.故选A.

(2)杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度。某路段的传递活动由A,B,C,D,E,F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A,B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A,C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为114。

答案：
(2)114
(2)当A完成第一棒时，有$C_{5}^{3}A_{3}^{3}=60$种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有$(C_{5}^{3}-1)×A_{3}^{3}=54$种不同的传递方案.故共有60+54=114种不同的传递方案.

典例3
已知$(2x - 1)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ·s + a_nx^n(n \in \mathbf{N}_+)$，若$(2x - 1)^n$的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等。
(1)求n的值；
(2)求$x^2$的系数；
(3)求$|a_1| + |a_2| + |a_3| + ·s + |a_n|$的值。

答案： 典例3 解：
(1)第4项与第8项的二项式系数相等，则$C_{n}^{3}=C_{n}^{7}，$解得n=10，所以n=10.
(2)由
(1)知，$(2x - 1)^{10}$的展开式中$x^{2}$项为$C_{10}^{2}(2x)^{2}(-1)^{8}=180x^{2}，$所以$a_{2}=180.$
(3)由
(1)知，$(2x - 1)^{10}$的展开式中，当x=0时，$a_{0}=1，$因为$a_{0},a_{2},a_{4},a_{6},a_{8},a_{10}∈(0,+∞)，$$a_{1},a_{3},a_{5},a_{7},a_{9}∈(-∞,0)，$所以|$a_{0}$|+|$a_{1}$|+|$a_{2}$|+|$a_{3}$|+…+|$a_{10}$|$=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+…+a_{10}$
当x=-1时，$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+…+a_{10}=(-3)^{10}=3^{10}，$所以|$a_{1}$|+|$a_{2}$|+|$a_{3}$|+…+|$a_{n}$|$=3^{10}-1.$