《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 2（链教材 P101 例 1）
如图，已知空间四边形$ABCD$，连接$AC,BD$，$E,F,G$分别是$BC,CD,DB$的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}$；
听课笔记：
(2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DG} - \overrightarrow{CE}$.

答案：

(1)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$，如图中向量$\overrightarrow{AD}$.
(2)$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DG} - \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{AF}$，如图中向量$\overrightarrow{AF}$.

(多选题) 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，下列各式中运算结果为向量$\overrightarrow{AC_1}$的有（ACD）

A.$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CC_1}$
B.$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1D_1}) - \overrightarrow{D_1C_1}$
C.$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}) + \overrightarrow{B_1C_1}$
D.$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1B_1}) - \overrightarrow{C_1B_1}$

答案： 对点练2.ACD 对于A，$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC_1}$；对于B，$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1D_1}) - \overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{AD_1} - \overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{BD_1} \neq \overrightarrow{AC_1}$；对于C，$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}) + \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$；对于D，$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1B_1}) - \overrightarrow{C_1B_1} = (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1B_1}) + \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$. 故选ACD.

问题 3. 类比平面向量，如何定义实数$\lambda$与空间向量$a$的乘积？空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件吗？

答案： 问题3.与平面向量类似，实数$\lambda$与空间向量$\boldsymbol{a}$的乘积仍然是一个向量，记作$\lambda\boldsymbol{a}$. 向量$\lambda\boldsymbol{a}$的长度和方向满足：
(1)$|\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda||\boldsymbol{a}|$；
(2)当$\lambda ＞ 0$时，向量$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$方向相同；当$\lambda ＜ 0$时，向量$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$方向相反；当$\lambda = 0$时，$\lambda\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$.
空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件，即空间两个向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})$共线的充要条件是存在唯一的实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$.

1. 空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.
(2)向量λa的长度与方向规定：
①长度：|λa|=$|\lambda|$|a|.
②方向：当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa是零向量，其方向是任意的.

答案： 1.相同 相反 任意 $|\lambda|$

2. 共线向量基本定理
空间两个向量$a,b(b \neq \boldsymbol{0})$共线的充要条件是存在唯一的实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$.
(1) 当$\lambda = 0$或$a = \boldsymbol{0}$时，$\lambda a = \boldsymbol{0}$.
(2) $\lambda$的正负影响着向量$\lambda a$的方向，$\lambda$的绝对值的大小影响着$\lambda a$的长度.
(3) 向量$\lambda a$与向量$a$一定是共线向量.

答案： 2.$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$