《2025年初中全程阶段测评卷七年级数学上册浙教版》

24. (本题10分)规定:若有理数$a,b$满足$a - b = ab$,则$a$叫作$b$的“差积数”。例如,$1-\frac{1}{2}=1×\frac{1}{2}$,那么1是$\frac{1}{2}$的“差积数”; $\frac{1}{2}-1\neq\frac{1}{2}×1$,可知$\frac{1}{2}$不是1的“差积数”。
请根据上述规定解答下列问题。
(1)填表(在表格-3/2处填空)。

(2)一个有理数的“差积数”等于这个数,求这个有理数。
(3)若$m$为正整数,记$m + 1,m + 2,m + 3,\cdots,m + 2025$这2025个数的“差积数”的积为$A$,试猜想$A$的值(用含有$m$的式子表示),并给出合理的猜想过程。

答案： 24.
(1)$-\frac{3}{2}$ 2
(2)设这个有理数为$x$，则$x - x = x^2$，即$x^2 = 0$，
故$x = 0$。
(3)因为$a - b = ab$，所以$(1 - b)a = b$，所以$a = \frac{b}{1 - b}$，于
是$m + 1$的差积数为$\frac{m + 1}{1 - (m + 1)} = -\frac{m + 1}{m}$，同理$m + 2$
的差积数为$-\frac{m + 2}{m + 1}\cdots\cdots m + 2025$的差积数为
$-\frac{m + 2025}{m + 2024}$，所以$A = -\frac{m + 1}{m}×(-\frac{m + 2}{m + 1})×(-\frac{m + 3}{m + 2})×\cdots×(-\frac{m + 2024}{m + 2023})×(-\frac{m + 2025}{m + 2024}) =$
$(-1)^{2025}×\frac{m + 2025}{m} = \frac{-m - 2025}{m}$。