《2025年初中全程阶段测评卷七年级数学上册浙教版》

5. 观察下列等式：
第 1 个等式：$a_{1}=\frac{1}{1×5}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{5})$，第 2 个等式：$a_{2}=\frac{1}{5×9}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})$，
第 3 个等式：$a_{3}=\frac{1}{9×13}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})\cdots\cdots$
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第 5 个等式：
$a_{5}=$$\frac{1}{17 × 21}$$=$$\frac{1}{4} × (\frac{1}{17} - \frac{1}{21})$。
(2)用含有 $n$ 的代数式表示第 $n$ 个等式($n$ 为正整数)：
$a_{n}=$$\frac{1}{(4n - 3) × (4n + 1)}$$=$$\frac{1}{4} × (\frac{1}{4n - 3} - \frac{1}{4n + 1})$。
(3)求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2025}$ 的值。

答案： 5.
(1)$a_5 = \frac{1}{17 × 21} = \frac{1}{4} × (\frac{1}{17} - \frac{1}{21})$
(2)$a_n = \frac{1}{(4n - 3) × (4n + 1)} = \frac{1}{4} × (\frac{1}{4n - 3} - \frac{1}{4n + 1})$
(3)$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2025} = \frac{1}{1 × 5} + \frac{1}{5 × 9} + \frac{1}{9 × 13} + \cdots + \frac{1}{8097 × 8101} = \frac{1}{4} × (1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \cdots + \frac{1}{8097} - \frac{1}{8101}) = \frac{1}{4} × \frac{8100}{8101} = \frac{2025}{8101}$。