《2025年初中全程阶段测评卷七年级数学上册浙教版》

22. (本题 10 分) 如图, $ O $ 为直线 $ A B $ 上一点, 将一个直角三角板 $ O M N $ 的直角顶点放在点 $ O $ 处, 射线 $ O C $ 平分 $ \angle M O B $。
(1) 如图 1 所示, 若 $ \angle C O N=18^{\circ} $, 则 $ \angle A O M=$36°$$ 。
(2) 在图 1 中, 若 $ \angle C O N=\alpha $, 则 $ \angle A O M $ 的度数 (用含 $ \alpha $ 的式子表示)。
(3) 将图 1 中的直角三角板 $ O M N $ 绕顶点 $ O $ 旋转至图 2 的位置, 若边 $ O M $ 在直线 $ A B $ 的上方, 另一边 $ O N $ 在直线 $ A B $ 的下方, 试探究 $ \angle A O M $ 和 $ \angle C O N $ 之间的数量关系, 并直接写出你的结论, 不必说明理由。

答案： 22.
(1)由已知得∠MOC=90°−∠CON=72°,因为OC 平分∠BOM,所以∠BOM=2∠MOC=144°,所以∠AOM=180°−∠BOM=180°−144°=36°;故答案为36°。
(2)由已知得∠MOC=90°−∠CON=90°−α,因为OC平分∠BOM,所以∠BOM=2∠MOC=180°−2α,所以∠AOM=180°−∠BOM=180°−(180°−2α)=2α。
(3)结论:∠AOM=2∠CON。设∠AOM=β,∠BOM=180°−β,因为OC平分∠BOM,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠BOM=$\frac{1}{2}$(180°−β)=90°−$\frac{1}{2}$β,因为∠MON=90°,所以∠CON=∠MON−∠MOC=90°−(90°−$\frac{1}{2}$β)=$\frac{1}{2}$β,所以∠AOM=2∠CON。