《2025年初中全程阶段测评卷七年级数学上册浙教版》

22. (本题10分)【阅读理解】$A$,$B$,$C$为数轴上三点,若点$C$到点$A$的距离是点$C$到点$B$的距离的$3$倍,我们就称点$C$是$(A,B)$的和谐点。
例如,如图1所示,点$A$表示的数为$-1$,点$B$表示的数为$3$。表示$2$的点$C$到点$A$的距离是$3$,到点$B$的距离是$1$,那么点$C$是$(A,B)$的和谐点;又如表示$0$的点$D$到点$A$的距离是$1$,到点$B$的距离是$3$,那么点$D$就不是$(A,B)$的和谐点,但点$D$是$(B,A)$的和谐点。
【知识运用】
(1) 如图2所示,$M$,$N$为数轴上两点,点$M$所表示的数为$-3$,点$N$所表示的数为$6$,则数\frac{15}{4}或\frac{21}{2}所表示的点是$(M,N)$的和谐点。
(2) 如图3所示,$A$,$B$为数轴上两点,点$A$表示的数为$-15$,点$B$所表示的数为$45$。现有一只电子蚂蚁$P$从点$A$出发,以$3$个单位长度/s的速度向右运动,到达点$B$时停止。设$P$的运动时间为$t\ s$,当$t$为何值时$P$,$A$,$B$中恰好有一个点为其余两个点的和谐点。

答案： 22.
(1)设所求数为x,当和谐点在M,N之间时,由题意:x-(-3)=3(6-x),解得$x=\frac{15}{4};$当和谐点在N右边时,由题意得:x-(-3)=3(x-6),解得$x=\frac{21}{2};$故答案为$\frac{15}{4}$或$\frac{21}{2}。$
(2)设点P表示的数为y,则PA=y+15,PB=45-y,AB=60。分四种情况:①P为(A,B)的和谐点,由题意得PA=3BP,即y+15=3(45-y),解得y=30,所以t=45÷3=15(s);②P为(B,A)的和谐点,由题意得PB=3AP,即45-y=3(y+15),解得y=0,所以t=15÷3=5(s);③A为(B,P)的和谐点,由题意得AB=3AP,即60=3(y+15),解得y=5,所以$t=20÷3=\frac{20}{3}(s);④B$为(A,P)的和谐点,由题意得AB=3BP,即60=3(45-y),解得y=25,所以$t=40÷3=\frac{40}{3}(s)。$综上所述,当t为5s或$\frac{20}{3}s$或$\frac{40}{3}s$或15s时,P,A,B中恰好有一个点为其余两个点的和谐点。