《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

12. (原创题)如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框$ABCD$变形为以A为圆心,$AB$长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形$ADB$的面积为(D)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： D

13. 如图,边长为$4cm的正方形ABCD的对角线交于点O$,以$OC为半径的扇形的圆心角\angle FOH = 90^{\circ}$. 则图中阴影部分面积是______$cm^{2}$.

$(2\pi-4)$

答案： $(2\pi-4)$

14. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AB = 8$,以点$C$为圆心,$CA$的长为半径画弧,交$AB于点D$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.

答案： 解：连接CD，$\because \angle ACB=90°$，$\angle B=30°$，$\therefore \angle A=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=4$．$\because AC=CD$，$\therefore \triangle ACD$是等边三角形．$\therefore \angle ACD=60°$．$\therefore l_{\overset{\frown}{AD}}=\frac{60\pi×4}{180}=\frac{4}{3}\pi$．

15. 如图,已知点$C$,$D是以AB$为直径的半圆的三等分点,弧$CD的长为\frac{1}{3}\pi$,求图中阴影部分的面积.

答案： 解：连接CD，OC，OD．$\because$ C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，$\therefore \angle AOC=\angle COD=\angle DOB=60°$．又$\because OA=OC=OD$，$\therefore \triangle OAC$，$\triangle OCD$是等边三角形．$\therefore \angle AOC=\angle OCD=60°$．$\therefore CD// AB$．$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle OCD}$．$\because$弧CD的长为$\frac{1}{3}\pi$，$\therefore \frac{60\pi\cdot r}{180}=\frac{1}{3}\pi$．解得$r=1$．$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCD}=\frac{60\pi×1^2}{360}=\frac{\pi}{6}$．

16. (核心素养·运算能力)如图,已知$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$AC$是直径,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 2$,点$D是AB$的中点,连接$DO并延长交\odot O于点P$,过点$P作PF\perp AC于点F$.
(1)求劣弧$PC$的长；
(2)求阴影部分的面积.

答案： （1）解：$\because$点D是AB的中点，PD经过圆心，$\therefore PD\perp AB$．$\because \angle A=30°$，$\therefore OA=2OD$，$\angle COP=\angle AOD=60°$．$\because OA=OC$，$AD=BD$，$\therefore OD$为$\triangle ABC$的中位线．$\therefore BC=2OD$．$\therefore OA=BC=2$．$\therefore \odot O$的半径为2．$\therefore$劣弧PC的长为$\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$． （2）由（1）知$\angle AOD=\angle POC=60°$．$\because PF\perp AC$，$\therefore \angle OPF=30°$．$\therefore OF=\frac{1}{2}OP$．$\because OA=OP=2$，$\therefore OF=1$．$\therefore PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{3}$．$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCP}-S_{\triangle OPF}=\frac{60}{360}×\pi×2^2-\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．