《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. (原创题)把抛物线$C_{1}:y = x^{2} + 2x + 3$先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线$C_{2}$.
(1)直接写出抛物线$C_{2}$的解析式；
(2)动点$P(a,-6)能否在抛物线C_{2}$上？请说明理由；
(3)若点$A(m,y_{1})$,$B(n,y_{2})都在抛物线C_{2}$上,且$m ＜ n ＜ 0$,比较$y_{1}$,$y_{2}$的大小.

答案：
(1)解:y=x²+2x+3=(x+1)²+2,
∵把抛物线C₁:y=x²+2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C₂,
∴C₂:y=(x+1-4)²+2-5,即y=(x-3)²-3,
∴抛物线C₂的解析式为y=(x-3)²-3.
(2)动点P(a,-6)不在抛物线C₂上,理由:
∵抛物线C₂的函数关系式为:y=(x-3)²-3,
∴函数的最小值为-3,
∵-6＜-3,
∴动点P(a,-6)不在抛物线C₂上.
(3)
∵抛物线C₂的函数关系式为y=(x-3)²-3,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,
∴当x＜3时,y随x的增大而减小,
∵点A(m,y₁),B(n,y₂)都在抛物线C₂上,且m＜n＜0＜3,
∴y₁＞y₂.

11. (核心素养·推理能力)如图,抛物线$y = x^{2} + bx + c$经过坐标原点,并与$x轴交于点A(2,0)$.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点$B$,且$S_{\triangle OAB} = 3$,求点$B$的坐标.

答案：
(1)解:把(0,0),(2,0)代入y=x²+bx+c,得{ c=0, 4+2b+c=0, 解得{ b=-2, c=0.
∴解析式为y=x²-2x.
(2)
∵y=x²-2x=(x-1)²-1,
∴顶点为(1,-1),对称轴为直线x=1.
(3)设点B的坐标为(m,n),则1/2×2|n|=3,解得n=3或n=-3.
∵顶点纵坐标为-1,-3＜-1,
∴n=3,
∴x²-2x=3,解得x₁=3,x₂=-1,
∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).

1. 二次函数$y = - x^{2} + 2x + 4$的最大值为(C)
A.$- 2$
B.$2$
C.$5$
D.$9$

答案： C

2. 在二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$中,当$0 \leqslant x \leqslant 3$时,$y$的最大值和最小值分别是(A)
A.$0$,$- 4$
B.$0$,$- 3$
C.$- 3$,$- 4$
D.$0$,$0$

答案： A

3. 已知二次函数$y = - x^{2} + 2x + 3$,当$x \geqslant 2$时,$y$的取值范围是(B)
A.$y \geqslant 3$
B.$y \leqslant 3$
C.$y ＞ 3$
D.$y ＜ 3$

答案： B

4. (贺州市中考)已知二次函数$y = 2x^{2} - 4x - 1$,当$0 \leqslant x \leqslant a$时,$y取得最大值15$,则$a$的值为(D)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： D