《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,将抛物线$y = x^2向右平移a$个单位长度后,顶点为$A$,与$y轴交于点B$,且$\triangle AOB$为等腰直角三角形。
(1)求$a$的值；
(2)图中的抛物线上是否存在点$C$,使$\triangle ABC$为等腰直角三角形？若存在,直接写出点$C$的坐标,并求$S_{\triangle ABC}$；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)解:依题意将抛物线$y = x^{2}$平移后为抛物线$y=(x - a)^{2}$，即$y = x^{2}-2ax + a^{2}$。$\because OA = OB$，点A的坐标为$(a,0)$，点B的坐标为$(0,a^{2})$，$\therefore a^{2}=a$。$\because a\neq 0$，$\therefore a = 1$。　
(2)存在。点C的坐标为$(2,1)$，此时$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$。易知$AB = AC=\sqrt{2}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = x^2 + bx + c的图象与x轴交于A(-1, 0)$,$B$两点,与$y轴交于点C(0, -3)$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)若$Q$为抛物线对称轴上一动点,求使$\triangle QBC为直角三角形的点Q$的坐标。

答案：
(1)解:$\because A(-1,0)$，$C(0,-3)$在$y = x^{2}+bx + c$的图象上，$\therefore \begin{cases}1 - b + c = 0\\c = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2\\c = - 3\end{cases}$，$\therefore$二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。　
(2)$\because y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，$\therefore$对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$可设Q点坐标为$(1,t)$。$\because B(3,0)$，$C(0,-3)$，$\therefore BQ^{2}=(1 - 3)^{2}+t^{2}=t^{2}+4$，$CQ^{2}=1^{2}+(t + 3)^{2}=t^{2}+6t + 10$，$BC^{2}=18$，$\because \triangle QBC$为直角三角形，$\therefore$可分为$\angle BQC = 90^{\circ}$，$\angle CBQ = 90^{\circ}$和$\angle BCQ = 90^{\circ}$三种情况:①当$\angle BQC = 90^{\circ}$时，则有$BQ^{2}+CQ^{2}=BC^{2}$，即$t^{2}+4+t^{2}+6t + 10 = 18$，解得$t=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$t=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，此时Q点的坐标为$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$；　②当$\angle CBQ = 90^{\circ}$时，则有$BC^{2}+BQ^{2}=CQ^{2}$，即$18+t^{2}+4=t^{2}+6t + 10$，解得$t = 2$，此时Q的坐标为$(1,2)$；　③当$\angle BCQ = 90^{\circ}$时，则有$BC^{2}+CQ^{2}=BQ^{2}$，即$18+t^{2}+6t + 10=t^{2}+4$，解得$t = - 4$，此时Q点坐标为$(1,-4)$。综上可知:点Q的坐标为$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$或$(1,2)$或$(1,-4)$。

3. (凉山州中考改编)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线经过$A(-1, 0)$、$B(3, 0)$、$C(0, -1)$三点。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点$Q在y$轴上,点$P$在抛物线上,要使以点$Q$、$P$、$A$、$B$为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点$P$的坐标。

答案：

(1)解:$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x - 1$。　
(2)如图所示 ，①当AB为边时，只要$PQ// AB$，且$PQ = AB = 4$即可，又知点Q在y轴上，$\therefore$点P的横坐标为4或$-4$，这时，符合条件的点P有两个，分别记为$P_{1}$、$P_{2}$。而当$x = 4$时，$y=\frac{5}{3}$；当$x = - 4$时，$y = 7$。此时$P_{1}(4,\frac{5}{3})$，$P_{2}(-4,7)$；　②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，$\therefore$点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为$P_{3}$。而当$x = 2$时，$y = - 1$，此时$P_{3}(2,-1)$。综上，满足条件的点P的坐标为$P_{1}(4,\frac{5}{3})$，$P_{2}(-4,7)$，$P_{3}(2,-1)$。