《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,$\triangle ABC和\triangle CDE$都是等边三角形,$AD和BE交于点F$。
(1)在图1中,点$B$,$C$,$D$三点在同一直线上,则线段$AD$,$BE$之间的数量关系是AD=BE,它们所成的锐角$\angle AFB = $______60°；
(2)当$\triangle CDE绕点C$沿逆时针方向旋转到图2时,(1)中的结论还成立吗？请说明理由。
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答案：
(1)AD=BE 60°
(2)解:成立.理由:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴∠BCA=∠DCE=60°,BC=AC=AB,EC=CD=ED.
∴∠BCA+∠ACE=∠DCE + ∠ACE.
∴ ∠BCE = ∠ACD. 在 △BCE 和 △ACD 中,$\left\{\begin{array}{l} BC = AC\\ ∠BCE = ∠ACD\\ EC = DC\end{array}\right.$,
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴AD=BE,∠CBE=∠CAD.又
∵∠BGC=∠AGF,
∴∠AFB=∠BCA=60°.
∴
(1)中的结论仍成立.

2. (1)如图1,已知正方形ABCD和正方形CEFG,点G在边CD上,点E在边BC上,则BE与DG的数量关系为BE = DG；
(2)将(1)中的正方形CEFG绕点C旋转至如图2时,(1)中的结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；
解:结论成立.证明:
∵∠BCD=∠ECG,
∴∠BCE=∠DCG.又
∵BC = DC,EC=GC.
∴△BCE≌△DCG(SAS).
∴BE=DG.
(3)若$AB = 5\sqrt{2},CE = \sqrt{2},$将(1)中正方形CEFG绕点C旋转$\alpha$度$(0 ＜ \alpha ＜ 90),$当B,E,G三点在一条直线上(如图3)时,求DG的长。连接FC交EG于点M,∵四边形CEFG是正方形$,CE=\sqrt{2},$∴CM=EM=1,EG⊥FC.由勾股定理,得$BM=\sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 1^2}=7,$
∴BE=BM - EM=7 - 1=6.由
(2)得DG=BE=6.
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答案：
(1)BE = DG
(2)解:结论成立.证明:
∵∠BCD=∠ECG,
∴∠BCE=∠DCG.又
∵BC = DC,EC=GC.
∴△BCE≌△DCG(SAS).
∴BE=DG.
(3)连接FC交EG于点M,
∵四边形CEFG是正方形,CE=$\sqrt{2}$,
∴CM=EM=1,EG⊥FC.由勾股定理,得BM=$\sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 1^2}=7$,
∴BE=BM - EM=7 - 1=6.由
(2)得DG=BE=6.