《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. 如图,已知 $ CD $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ \angle DOE = 78^{\circ} $,$ AE $ 交 $ \odot O $ 于点 $ B $,且 $ AB = OC $,求 $ \angle A $ 的度数。

答案： 解：连接OB.
∵AB=OC,OB=OC，
∴AB=OB，
∴∠A=∠BOA.又
∵OB=OE，
∴∠E=∠EBO=∠BOA+∠A=2∠A，
∴∠DOE=∠E+∠A=3∠A.而∠DOE=78°，
∴3∠A=78°，
∴∠A=26°.

11. (原创题)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle B = \angle D = 90^{\circ} $。求证：$ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四点在同一个圆上。(提示：连接 $ AC $,取 $ AC $ 的中点 $ E $,连接 $ DE $,$ BE $)

答案： 证明：连接AC,取AC的中点E，连接DE,BE.在Rt△ACD中，DE是斜边中线，
∴AE=CE=DE.同理，在Rt△ABC中，AE=CE=BE.
∴AE=CE=BE=DE.
∴A,B,C,D四点在以点E为圆心，AC为直径的圆上.

12. (核心素养·几何直观)如图,正方形 $ ABCD $ 在半圆 $ O $ 内部,顶点 $ A $,$ B $ 在圆上,$ C $,$ D $ 在直径上。
(1)$ OD $=(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)$ OC $；
(2)在正方形 $ ABCD $ 右侧再作一个小正方形 $ ECGF $,若正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 $,求正方形 $ ECGF $ 的边长。

(2)解：
∵BC=4,OC=2，
∴OB=2$\sqrt{5}$,连接OF,设正方形ECGF的边长为x，则GF=x=CG，
∴OG=OC+CG=2+x.在Rt△OGF中，$x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2$，解得$x_1=-4$(舍去)，$x_2=2$，
∴正方形ECGF的边长为2.

答案：
(1)=
(2)解：
∵BC=4,OC=2，
∴OB=2$\sqrt{5}$,连接OF,设正方形ECGF的边长为x，则GF=x=CG，
∴OG=OC+CG=2+x.在Rt△OGF中，$x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2$，解得$x_1=-4$(舍去)，$x_2=2$，
∴正方形ECGF的边长为2.

1. (毕节市中考)如图,点 $ A $,$ B $,$ C $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle A = 36^{\circ} $,$ \angle C = 28^{\circ} $,则 $ \angle B $ 等于(C)

A.$ 100^{\circ} $
B.$ 72^{\circ} $
C.$ 64^{\circ} $
D.$ 36^{\circ} $

答案： C

2. 如图,分别以 $ A $,$ B $ 为圆心,线段 $ AB $ 的长为半径的两个圆相交于 $ C $,$ D $ 两点,则 $ \angle CAD $ 的度数为120°。

答案： 120°

3. 如图,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $,$ AB $ 上,过 $ A $,$ C $,$ D $ 三点的圆的圆心为点 $ E $,以点 $ D $ 为圆心的圆过点 $ B $,$ E $。如果 $ \angle A = 57^{\circ} $,那么 $ \angle ABC = $22°。

答案： 22°