《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. (原创题)如图,点 $A$ 在数轴的负半轴上,点 $B$ 在数轴的正半轴上,且点 $A$ 对应的数是 $2x - 1$,点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$,已知 $AB = 5$,则 $x$ 的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.(点拨:$x$ 的值要满足 $2x - 1\lt0$.)

答案： $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

11. 用公式法解下列方程：
(1)$\sqrt{2}m^{2}-4\sqrt{2}= 4m$；
(2)$(x + 2)^{2}= 2x + 5$.

答案：
(1)解:方程可化为$\sqrt{2}m^{2}-4m-4\sqrt{2}=0,a=\sqrt{2},b=-4,c=-4\sqrt{2},\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4× \sqrt{2}× (-4\sqrt{2})=48＞0,\therefore x=\frac{4\pm \sqrt{48}}{2× \sqrt{2}}=\frac{4\pm 4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pm \sqrt{6},\therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(2)解:方程可化为$x^{2}+2x-1=0,a=1,b=2,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=2^{2}-4× 1× (-1)=8＞0,\therefore x=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2× 1}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2},\therefore x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$.

12. 已知方程 $x^{2}-2(k + 1)x + k^{2}-2k - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根,其中一根为 0.
(1)求 $k$ 的值；
(2)求方程的另一根.

答案：
(1)解:
∵原方程有一个根为0,
∴把$x=0$代入原方程中,得$k^{2}-2k-3=0$,解得$k_{1}=3,k_{2}=-1$.
∵原方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =[-2(k+1)]^{2}-4(k^{2}-2k-3)＞0$,解得$k＞-1,\therefore k=3$.
(2)当$k=3$时,原方程化为$x^{2}-8x=0$,解得$x_{1}=0,x_{2}=8$,
∴方程的另一根为8.

13. (核心素养·推理能力)已知平行四边形 $ABCD$ 的两边 $AB,BC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0$ 的两个实数根.
(1)求证:无论 $m$ 取何值,方程总有两个实数根；
(2)当 $m$ 为何值时,四边形 $ABCD$ 是菱形?求出这时菱形的边长；
(3)若 $AB$ 的长为 2,则平行四边形 $ABCD$ 的周长是多少?

答案：
(1)证明:$\Delta =m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}$.
∵无论$m$取何值,$(m-1)^{2}\geq 0$,即$\Delta \geq 0$.
∴无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
(2)解:
∵四边形$ABCD$是菱形,
∴$AB=BC$,即方程有两个相等的实数根.
∴$(m-1)^{2}=0$.
∴$m=1$.将$m=1$代入方程得$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0,\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$,
∴当$m=1$时,四边形$ABCD$是菱形,这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(3)解:根据题意,将$x=2$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$.将$m=\frac{5}{2}$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2},\therefore BC=\frac{1}{2}$.
∴$2(AB+BC)=2× (2+\frac{1}{2})=5$.故平行四边形$ABCD$的周长为5.