《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图,二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0)的图象与直线y = 1交于点(1,1)$,$(3,1)$,则不等式$ax^2 + bx + c - 1 ＞ 0$的解集为(C)

A.$x ＞ 1$
B.$1 ＜ x ＜ 3$
C.$x ＜ 1或x ＞ 3$
D.$x ＞ 3$

答案： C

6. 已知二次函数$y = x^2 - x + \frac{1}{4}m - 1$的图象与x轴有交点,则m的取值范围是$ m \leqslant 5 $。

答案： $ m \leqslant 5 $

7. 某商家销售一种成本为30元的商品,销售一段时间后发现,每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元)满足的函数关系式为$y = -15x + 1500$。物价部门规定,该商品的销售单价不能超过60元。
(1) 当销售单价定为40元时,商家销售该商品每天获得的利润是9000元；
(2) 当销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润最大,并求出最大利润。

答案：
(1)40
(2)解:设商家销售该商品每天获得的利润为$ w $元,根据题意,得$ w=(x-30)(-15x+1500)=-15(x-65)^2+18375 $.
∵$ -15＜0 $,
∴当$ x \leqslant 65 $时,$ w $随$ x $的增大而增大.
∵$ x \leqslant 60 $,
∴当$ x=60 $时,$ w $取最大值,为 18000.答:当销售单价定为 60 元时,商家销售该商品每天获得的利润最大,其最大利润为 18000 元.

8. 已知$y = (m + 2)x^{|m|} + 2$是关于x的二次函数,那么m的值为2。

答案： 2

9. 已知二次函数$y = 2(x - h)^2$,当$x ＞ 3$时,y随x的增大而增大,则h的取值满足$ h \leqslant 3 $。

答案： $ h \leqslant 3 $

10. (内江市中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交于B,$C(-2,0)$两点,与y轴交于点A,顶点坐标为$(1,-\frac{9}{4})$。
(1)$ y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2 $ 该抛物线的函数解析式为______；
(2) 若点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点K,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求$\frac{1}{2}PK + PD$的最大值及此时点P的坐标。

答案：
(1)$ y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2 $
(2)解:由
(1)知函数解析式为$ y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2 $,对称轴为直线$ x=1 $,
∵$ C(-2,0) $,
∴$ B(4,0) $.令$ x=0 $,解得$ y=-2 $,
∴$ A(0,-2) $.易求得直线$ AB $的函数解析式为$ y=\frac{1}{2}x-2 $.设$ P\left(p,\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p-2\right) $,
∴$ D(p,0) $,$ K\left(\frac{1}{2}p^2-p,\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{2}p-2\right) $,
∴$ PK=-\frac{1}{2}p^2+2p $,$ PD=-\frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+2 $,
∴$ \frac{1}{2}PK+PD=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}p^2+2p\right)+\left(-\frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+2\right)=-\frac{1}{2}\left(p-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{8} $,
∵$ -\frac{1}{2}＜0 $,$ 0＜p＜4 $,
∴当$ p=\frac{3}{2} $时,$ \frac{1}{2}PK+PD $取最大值,最大值为$ \frac{25}{8} $,此时点$ P $的坐标为$ \left(\frac{3}{2},-\frac{35}{16}\right) $.