《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D$,$E均在边BC$上,且$\angle DAE = 45^{\circ}$。猜想$BD$,$DE$,$EC$应满足的等量关系,并写出推理过程。
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答案： 解:猜想:$DE^2=BD^2+EC^2$.证明:将△ABD绕点A逆时针旋转90°,则AB与AC重合,△ABD≌△ACD',BD=CD'.连接ED',则△ADE≌△AD'E.
∴DE=D'E.又
∵Rt△ABC中,∠B+∠ACB=90°,∠B=∠ACD',
∴∠ACD'+∠ACB=90°.即∠D'CE=90°.
∴$ED'^2=EC^2+CD'^2$.
∴$DE^2=EC^2+BD^2$.

4. 如图,在正方形$ABCD$中,$E为直线AB$上的动点(不与点$A$,$B$重合),作射线$DE并绕点D逆时针旋转45^{\circ}$,交直线$BC于点F$,连接$EF$。
【探究】当点$E在边AB$上时,求证：$EF = AE + CF$；
【应用】
(1)当点$E在边AB$上,且$AD = 2$时,求$\triangle BEF$的周长；
(2)当点$E在BA$的延长线上时,判断$EF$,$AE$,$CF$三者的数量关系,并说明理由。
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答案：
解:【探究】延长BA到点G,使AG=CF,连接GD,
∵四边形ABCD为正方形,
∴DA=DC,∠DAG=∠C=90°,
∴△DAG≌△DCF(SAS),
∴∠ADG=∠CDF,DG = DF,AG=CF.又
∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,
∴∠EDG=∠ADG+∠ADE=∠CDF+∠ADE=45°=∠EDF.又
∵DE=DE,
∴△GDE≌△FDE(SAS),
∴EF = EG,又
∵EG=AE+AG=AE+CF,
∴EF=AE+CF.【应用】
(1)△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4.
(2)EF=CF - AE,理由如下:如图,在CB上取一点G,使CG=AE,连接DG,
∵AE=CG,∠DAE=∠DCG=90°,AD=DC,
∴△DAE≌△DCG(SAS),
∴DE=DG,∠EDA=∠GDC,
∴∠EDG=∠ADG+∠ADE=∠ADG+∠GDC=∠ADC = 90°,
∴∠FDG=∠EDG - ∠EDF=90° - 45°=45°,
∴∠FDG=∠EDF.又
∵DF=DF,DE=DG,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=GF,
∴EF=CF - CG=CF - AE.