《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. (滨州市中考)一元二次方程 $x^{2}+3x - 2 = 0$ 根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判定

答案： A

2. 下列一元二次方程无实数根的是(C)
A.$x^{2}+x - 2 = 0$
B.$x^{2}-5x = 0$
C.$x^{2}+x + 5 = 0$
D.$x^{2}-2x + 1 = 0$

答案： C

3. (郴州市中考)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-5x + c = 0$ 有两个相等的实数根,则 $c=$$\frac{25}{8}$.

答案： $\frac{25}{8}$

4. (教材第 17 页第 4 题变式)利用判别式判断下列方程的根的情况.
(1)$2x^{2}-3x - 5 = 0$；
(2)$3x^{2}+2x = x - 4$.

答案：
(1)解:$a=2,b=-3,c=-5,\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× 2× (-5)=49＞0$,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)解:方程可化为$3x^{2}+x+4=0,a=3,b=1,c=4,\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4× 3× 4=-47＜0$,
∴原方程没有实数根.

5. 用公式法解方程 $2t^{2}= 6t + 3$ 时,$a,b,c$ 的值分别为(B)
A.$2,6,3$
B.$2,-6,-3$
C.$-2,6,-3$
D.$2,6,-3$

答案： B

6. 用公式法解一元二次方程,得 $x= \frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4×3×1}}{2×3}$,则该一元二次方程的一般形式是$3x^{2}+5x+1=0$.

答案： $3x^{2}+5x+1=0$

7. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-4x - 8 = 0$；
(2)$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(3)$x^{2}-3x = 4x + 6$.

答案：
(1)解:$a=1,b=-4,c=-8,\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4× 1× (-8)=48＞0,\therefore x=\frac{4\pm \sqrt{48}}{2× 1}=\frac{4\pm 4\sqrt{3}}{2}=2\pm 2\sqrt{3},\therefore x_{1}=2+2\sqrt{3},x_{2}=2-2\sqrt{3}$.
(2)解:$a=1,b=-2\sqrt{2},c=2,\therefore b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4× 1× 2=0,\therefore x=\frac{2\sqrt{2}\pm 0}{2× 1}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\therefore x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$.
(3)解:方程可化为$x^{2}-7x-6=0,a=1,b=-7,c=-6,\therefore b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4× 1× (-6)=73＞0,\therefore x=\frac{7\pm \sqrt{73}}{2× 1}=\frac{7\pm \sqrt{73}}{2},\therefore x_{1}=\frac{7+\sqrt{73}}{2},x_{2}=\frac{7-\sqrt{73}}{2}$.

8. (东营市中考)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是$k＜2$且$k\neq 1$.

答案： $k＜2$且$k\neq 1$

【变式】若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-2x - 1 = 0$ 有实数根,则 $a$ 的取值范围是$a\geq -1$.

答案： $a\geq -1$

9. (河北省中考)小刚在解关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 时,只抄对了 $a = 1,b = 4$,解出其中一个根是 $x = -1$.他核对时发现所抄的 $c$ 比原方程的 $c$ 值小 2.则原方程的根的情况是(A)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是 $x = -1$
D.有两个相等的实数根

答案： A