《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

3. (潍坊市中考改编)如图,抛物线$y = ax^2 + bx + 8(a \neq 0)与x轴交于点A(-2, 0)和点B(8, 0)$,与$y轴交于点C$,顶点为$D$,连接$AC$,$BC$,$BC与抛物线的对称轴l交于点E$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)点$P$是第一象限内抛物线上的动点,连接$PB$,$PC$,当$S_{\triangle PBC} = \frac{3}{5}S_{\triangle ABC}$时,求点$P$的坐标。

答案：
(1)解:由题意，可得$\begin{cases}4a - 2b + 8 = 0\\64a + 8b + 8 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = 3\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+3x + 8$。
(2)当$x = 0$时，$y = 8$，$\therefore C(0,8)$。$\because A(-2,0)$，$B(8,0)$，$\therefore AB = 10$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}×10×8 = 40$。　
(3)由$B(8,0)$，$C(0,8)$可求得直线BC解析式为$y = - x + 8$，过点P作$PG\perp x$轴，交x轴于点G，交BC于点F，设$P(t,-\frac{1}{2}t^{2}+3t + 8)$，则$F(t,-t + 8)$，$\therefore PF=-\frac{1}{2}t^{2}+4t$。$\because S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PF\cdot OB=\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=24$，$\therefore \frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}t^{2}+4t)×8 = 24$，$\therefore t_{1}=2$，$t_{2}=6$，$\therefore P_{1}(2,12)$，$P_{2}(6,8)$。

4. (广东省中考)如图,抛物线$y = x^2 + bx + c$($b$,$c$是常数)的顶点为$C$,与$x轴交于A$、$B$两点,$A(1, 0)$,$AB = 4$,$P为线段AB$上的动点,不与点$A$、$B$重合,连接$BC$、$AC$,过点$P作PQ // BC交AC于点Q$。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求$\triangle CPQ$面积的最大值,并求此时点$P$的坐标。

答案：
(1)解:$\because A(1,0)$，$AB = 4$，$\therefore B(-3,0)$。把点$A(1,0)$，$B(-3,0)$分别代入$y = x^{2}+bx + c$中，得$\begin{cases}1 + b + c = 0\\9 - 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = - 3\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}+2x - 3$。
(2)由
(1)得抛物线的解析式为$y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，则顶点C的坐标为$(-1,-4)$。易得直线BC的解析式为$y = - 2x - 6$，直线AC的解析式为$y = 2x - 2$。$\because PQ// BC$，$\therefore$设直线PQ的解析式为$y = - 2x + n$，与x轴交于点$P(\frac{n}{2},0)$。联立$\begin{cases}y = - 2x + n\\y = 2x - 2\end{cases}$解得$Q(\frac{n + 2}{4},\frac{n - 2}{2})$。$\because$点P在线段AB上，$\therefore - 3＜\frac{n}{2}＜1$，$\therefore n$的取值范围为$- 6＜n＜2$，则$S_{\triangle CPQ}=S_{\triangle CPA}-S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}×(1 - \frac{n}{2})×4-\frac{1}{2}×(1 - \frac{n}{2})×(-\frac{n - 2}{2})=-\frac{1}{8}(n + 2)^{2}+2$，$\therefore$当$n = - 2$时，即点P的坐标为$(-1,0)$时，$S_{\triangle CPQ}$最大，最大值为2。