《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

11. (一题多解)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 2) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (4, 2) $. 若抛物线 $ y = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k $($ h $、$ k $ 为常数)与线段 $ AB $ 交于 $ C $、$ D $ 两点,且 $ CD = \frac{1}{2}AB $,则 $ k $ 的值为$\frac{7}{2}$.(点拨：易得 $ CD = 2 $,由抛物线的对称性可设点 $ C(h - 1, 2) $,代入抛物线求解.)

答案： $\frac{7}{2}$

12. (原创题)已知 $ y = a(x - h)^2 + k $ 是由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度后得到的抛物线.
(1) 直接写出 $ a $,$ h $,$ k $ 的值.
(2) 写出 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的函数值 $ y $ 的取值范围.

答案：
(1)解:$ a=-\frac{1}{2},h=1,k=2 $.
(2)
∵函数 $ y=a(x-h)^2+k $ 的最大值是 2,总有函数值 $ y\leqslant2 $,
∴函数值 $ y $ 的取值范围为 $ y\leqslant2 $.

13. (教材第 36 页例 4 变式)如图是某公园一喷水池,在水池中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下,若水流喷出的高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系式为 $ y = -(x - 1)^2 + 2.25 $.
(1) 求喷出的水流离地面的最大高度；

(2) 求喷嘴离地面的高度；
(3) 若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外？

答案：
(1)解:
∵水流喷出的高度 $ y(m) $,与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系式为 $ y=-(x-1)^2+2.25 $.
∴喷出的水流离地面的最大高度为 2.25m.
(2)当 $ x=0 $ 时,$ y=-(0-1)^2+2.25=1.25 $.
∴喷嘴离地面的高度为 1.25m.
(3)令 $ y=0 $,即 $ 0=-(x-1)^2+2.25 $,解得 $ x_1=-0.5,x_2=2.5 $.
∴水池半径至少为 2.5m 时,才能使喷出的水流不落在水池外.

14. (核心素养・模型观念)如图,直线 $ y = -3x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + k $ 经过点 $ A $,$ B $,并与 $ x $ 轴交于另一点 $ C $,其顶点为 $ P $.
(1) 求 $ a $,$ k $ 的值；
(2) 抛物线的对称轴上是否存在一点 $ N $,使 $ \triangle ABN $ 是以 $ AB $ 为斜边的直角三角形？若存在,求出点 $ N $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解:在 $ y=-3x+3 $ 中,令 $ y=0 $,得 $ x=1 $;令 $ x=0 $,得 $ y=3 $,
∴$ A(1,0),B(0,3) $.将 $ A(1,0),B(0,3) $ 分别代入 $ y=a(x-2)^2+k $,得 $ \begin{cases} a+k=0, \\ 4a+k=3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a=1, \\ k=-1. \end{cases} $
(2)存在.由题意,可设点 $ N $ 的坐标为 $ (2,n) $,则 $ NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13,NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2 $,且 $ AB^2=1^2+3^2=10 $.当 $ \triangle ABN $ 是以 $ AB $ 为斜边的直角三角形时,由勾股定理,得 $ NB^2+NA^2=AB^2 $.
∴$ n^2-6n+13+1+n^2=10 $,解得 $ n_1=1,n_2=2 $.
∴点 $ N $ 的坐标为 $ (2,1) $ 或 $ (2,2) $.
∴存在满足条件的点 $ N $,其坐标为 $ (2,1) $ 或 $ (2,2) $.