《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

5. (核心素养·模型观念)(襄阳市中考)为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为$1000m^2$的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花。设种草部分的面积为$x(m^2)$,种草所需费用$y_1$(元)与x($m^2$)的函数关系式为$y_1 = \begin{cases} k_1x(0 \leq x ＜ 600), \\ k_2x + b(600 \leq x \leq 1000), \end{cases} $其图象如图所示；栽花所需费用$y_2$(元)与x($m^2$)的函数关系式为$y_2 = -0.01x^2 - 20x + 30000(0 \leq x \leq 1000)$。
(1) 请直接写出$k_1$,$k_2$和b的值；
(2) 设这块$1000m^2$空地的绿化总费用为W(元),请利用W与x的函数关系式求出绿化总费用W的最大值；
(3) 若种草部分的面积不少于$700m^2$,栽花部分的面积不少于$100m^2$,请求出绿化总费用W的最小值。

答案：
(1)解:$ k_1=30 $,$ k_2=20 $,$ b=6000 $.
(2)当$ 0 \leqslant x＜600 $时,$ W=30x+(-0.01x^2-20x+30000)=-0.01x^2+10x+30000=-0.01(x-500)^2+32500 $,
∵$ -0.01＜0 $,
∴当$ x=500 $时,$ W $取得最大值为 32500 元;当$ 600 \leqslant x \leqslant 1000 $时,$ W=20x+6000+(-0.01x^2-20x+30000)=-0.01x^2+36000 $,
∵$ -0.01＜0 $,
∴当$ 600 \leqslant x \leqslant 1000 $时,$ W $随$ x $的增大而减小,
∴当$ x=600 $时,$ W $取最大值为 32400 元.
∵$ 32400＜32500 $,
∴$ W $的最大值为 32500 元.
(3)由题意,得$ 1000-x \geqslant 100 $,解得$ x \leqslant 900 $.
∵$ x \geqslant 700 $,
∴$ 700 \leqslant x \leqslant 900 $.
∵当$ 700 \leqslant x \leqslant 900 $时,$ W $随$ x $的增大而减小,
∴当$ x=900 $时,$ y_{最小}=-0.01×900^2+36000=27900 $.
∴$ W $的最小值为 27900 元.