《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

11. 某广场中心有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为$\frac{3}{2}米的喷水管喷水最大高度为4$米,此时喷水水平距离为$\frac{1}{2}$米,在如图所示的坐标系中,这支喷泉的函数关系式是$y=-10(x-\frac {1}{2})^{2}+4$。

答案： $y=-10(x-\frac {1}{2})^{2}+4$

12. (原创题)已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c的顶点坐标为(2,3)$,且与$x轴的两个交点之间的距离为6$,求抛物线的解析式。

答案： 解:由题知,抛物线的对称轴为直线$x=2$.
∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6,
∴由抛物线的对称性知,抛物线过点$(5,0)$和$(-1,0)$.设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^{2}+3$,把点$(5,0)$代入,得$a(5-2)^{2}+3=0$,
∴$a=-\frac {1}{3}$.
∴抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{3}(x-2)^{2}+3$,即$y=-\frac {1}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x+\frac {5}{3}.$

13. (核心素养·创新意识)如图1,已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c经过点A(0,3)$,$B(3,0)$,$C(4,3)$。


(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在$x$轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和$y$轴围成的图形的面积(图2中阴影部分)。

答案：
(1)解:把点$A(0,3),B(3,0),C(4,3)$代入$y=ax^{2}+bx+c$,得$\left\{\begin{array}{l} c=3,\\ 9a+3b+c=0,\\ 16a+4b+c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-4,\\ c=3,\end{array}\right. $所以抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-4x+3$.
(2)因为$y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$,所以顶点坐标为$(2,-1)$,对称轴是直线$x=2$.
(3)通过割补得到阴影部分的面积等于一个一边长为1,且该边上的高为2的平行四边形的面积,所以阴影部分的面积为1×2=2.

1. 抛物线$y= 2x^{2}-6x+3$沿x轴翻折所得抛物线的解析式为$y=-2(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {3}{2}$(或$y=-2x^{2}+6x-3)$。

答案： $y=-2(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {3}{2}$(或$y=-2x^{2}+6x-3)$

2. 抛物线$y= -x^{2}-8x+1$沿y轴翻折所得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}+17$(或$y=-x^{2}+8x+1)$。

答案： $y=-(x-4)^{2}+17$(或$y=-x^{2}+8x+1)$