《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图,在$\odot O$中,$CM\perp OA$于点 $M$,$DN\perp OB$于点 $N$,且 $AM = BN$。求证：$\overgroup{AC} = \overgroup{BD}$。

答案： 证明：连接OC，OD.
∵OA=OB，AM=BN，
∴OA-AM=OB-BN，即OM=ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠CMO=∠DNO=90°，又
∵OC=OD，
∴Rt△COM≌Rt△DON，
∴∠COM=∠DON，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.

6. 如图,$AB$ 是$\odot O$的直径,$\overgroup{AC} = \overgroup{CD}$,$\angle COD = 60^{\circ}$。
(1)$\triangle AOC$是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：$OC// BD$。

答案：
(1)解：△AOC是等边三角形. 理由：
∵$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，
∴∠AOC=∠COD=60°，又
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形；
(2)证明：
∵∠AOC=∠COD=60°，
∴∠BOD=180°-(∠AOC+∠COD)=60°.
∵OD=OB，
∴△ODB为等边三角形.
∴∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠COD.
∴OC//BD.

7. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$\angle B = 50^{\circ}$,$\angle ACD = 25^{\circ}$,$\angle BAD = 65^{\circ}$。
(1)求$\angle D和\angle DAC$的度数；
(2)求证：$AB是\odot O$的直径。

答案：
(1)解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°-∠B=130°，
∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=25°；
(2)证明：
∵∠BAD=65°，∠CAD=25°，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°，又
∵∠B=50°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=90°，
∴AB是⊙O的直径.

8. (方程思想)如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D$ 是 $BC$ 边上一点,以 $DB$ 为直径的$\odot O$经过 $AB$ 的中点 $E$,交 $AD$ 的延长线于点 $F$,连接 $EF$。
(1)求证：$\angle 1 = \angle F$；
(2)若 $AC = 4$,$EF = 2\sqrt{5}$,求 $CD$的长。

答案：
(1)证明：连接DE.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°.
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B.
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；
(2)解：
∵∠1=∠F，EF=$2\sqrt{5}$，
∴AE=EB=EF=$2\sqrt{5}$，
∴AB=$4\sqrt{5}$.
∵AC=4，∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$. 设AD=DB=x，在Rt△ACD中，AC²+CD²=AD²，
∴4²+(8-x)²=x²，
∴x=5.
∴CD=BC-BD=8-5=3.