《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

4. (毕节市中考)如图,抛物线$y = x^2 + bx + c与x轴交于A(-1, 0)$,$B(3, 0)$两点,顶点$M关于x轴的对称点是M'$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线$AM'与此抛物线的另一交点为C$,求$\triangle CAB$的面积；
(3)是否存在过$A$,$B$两点的抛物线,其顶点$P关于x轴的对称点为Q$,使得四边形$APBQ$为正方形？若存在,求出此抛物线的解析式；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)解:将A，B点坐标代入函数解析式，得$\begin{cases}1 - b + c = 0\\9 + 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2\\c = - 3\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。　
(2)将抛物线的解析式写成顶点式，得$y=(x - 1)^{2}-4$，$\therefore M$点的坐标为$(1,-4)$，则点M关于x轴的对称点$M'(1,4)$。设直线$AM'$的解析式为$y = kx + n$，将A，$M'$点的坐标代入，得$\begin{cases}-k + n = 0\\k + n = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\n = 2\end{cases}$，故直线$AM'$的解析式为$y = 2x + 2$。联立直线$AM'$与抛物线的解析式得$\begin{cases}y = 2x + 2\\y = x^{2}-2x - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=-1\\y_{1}=0\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=5\\y_{2}=12\end{cases}$，则点C坐标为$(5,12)$。故$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4×12 = 24$。　
(3)存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形。由四边形APBQ是正方形，$A(-1,0)$，$B(3,0)$得$P(1,-2)$，$Q(1,2)$，或$P(1,2)$，$Q(1,-2)$。①当顶点$P(1,-2)$时，设抛物线的解析式为$y = a(x - 1)^{2}-2$，将A点坐标代入函数解析式，得$a(-1 - 1)^{2}-2 = 0$，解得$a=\frac{1}{2}$，故抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-2$；　②当顶点$P(1,2)$时，设抛物线解析式为$y = d(x - 1)^{2}+2$，将A点坐标代入函数解析式，得$d(-1 - 1)^{2}+2 = 0$，解得$d=-\frac{1}{2}$。故抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$。综上所述，存在抛物线$y=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-2$或$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$，使得四边形APBQ为正方形。