《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. (北京市中考改编)如图,用绳子围成周长为 10m 的矩形,记矩形的一边长为 xm,它的邻边长为 ym,矩形的面积为$ Sm^2。$当 x 在一定范围内变化时,y 和 S 都随 x 的变化而变化,则 S 与 x 满足的函数关系式为(A)

A.$ S = x(5 - x)(0 ＜ x ＜ 5) $
B.$ S = x(10 - x)(0 ＜ x ＜ 5) $
C.$ S = x(x - 5)(0 ＜ x ＜ 5) $
D.$ S = x(x - 10)(0 ＜ x ＜ 5) $

答案： A

2. 如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD,其中 $ ∠C = 120^{\circ} $。若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m,则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是(C)

$A.18m^2$
B.$ 18\sqrt{3}m^{2} $
C.$ 24\sqrt{3}m^{2} $
D.$ \frac{45\sqrt{3}}{2}m^{2} $

答案： C

3. (教材第 52 页第 5 题变式)如图,四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直,$ AC + BD = 16 $,则四边形 ABCD 的面积最大值是(B)

A.16
B.32
C.36
D.64

答案： B

4. 如图,用一段长为 16m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为32$m^2。$

答案： 32

5. 如图,已知 $ □ABCD $ 的周长为 8cm,$ ∠B = 30^{\circ} $,若边长 $ AB = xcm $,过点 A 作 $ AE ⊥ BC $ 于点 E。
(1) $ AE = $$\frac{1}{2}x$(用含 x 的代数式表示)；
(2) $ □ABCD $ 的面积 $ y(cm^{2}) $ 与 x 之间的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$,自变量 x 的取值范围为$0＜x＜4$；
(3) 当 x 取2时,y 的值最大,最大值为2。

答案：
(1)$\frac{1}{2}x$
(2)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$ $0＜x＜4$
(3)2 2

6. 已知直角三角形两条直角边的和等于 20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？

答案： 解:设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y,则$y=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^{2}+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50$.当x=10时,$y_{最大}=50$.
∴当两条直角边都为10时,三角形面积最大为50.

7. 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是12.5$cm^2。$

答案： 12.5

8. 如图,D 是边长为 4 的等边三角形 ABC 的边 BC 上一点,$ ED // AC $ 交 AB 于点 E,$ DF ⊥ AC $ 交 AC 于点 F,$ △EDF $ 的面积最大是(D)

A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.2
D.$ \sqrt{3} $

答案： D