《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. (原创题)如图, $ MN $ 是 $ \odot O $ 的直径,点 $ A $ 是半圆上一个三等分点,点 $ B $ 是 $ \overset{\frown}{AN} $ 的中点,点 $ B' $ 是点 $ B $ 关于 $ MN $ 的对称点, $ \odot O $ 的半径为 $ 1 $,则 $ AB' $ 的长为 ______$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

11. 如图,已知在半圆 $ \overset{\frown}{ADB} $ 中, $ AD = DC $, $ \angle CAB = 30^{\circ} $, $ AC = 2 \sqrt{3} $,求 $ AD $ 的长度.

答案： 解：连接 $OD$，交 $AC$ 于点 $H$。$\because AD=DC$，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore OD\perp AC$。$\because AC=2\sqrt{3}$，$\therefore AH=CH=\sqrt{3}$。又$\because \angle OAH=30°$，$\therefore OH=1$，$OA=2$，$\angle AOH=60°$。$\because OA=OD$，$\therefore \triangle OAD$ 是等边三角形，$\therefore AD=OA=2$。

12. 如图, $ \odot O $ 的两条半径 $ OA \perp OB $, $ C $, $ D $ 是弧 $ AB $ 的三等分点, $ OC $, $ OD $ 分别与 $ AB $ 相交于点 $ E $, $ F $.求证： $ CD = AE = BF $.

答案： 证明：连接 $AC$，$BD$，$\because C$，$D$ 是弧 $AB$ 的三等分点，$\therefore AC=CD=BD$。$\because \angle AOC=\angle COD$，$OA=OC=OD$，$\therefore \triangle ACO\cong\triangle DCO(SAS)$，$\therefore \angle ACO=\angle DCO$。$\because \angle OEF=\angle OAE+\angle AOE=45° + 30°=75°$，$\angle OCD=(180° - 30°)÷2=75°$，$\therefore \angle OEF=\angle OCD$，$\therefore CD// AB$，$\therefore \angle AEC=\angle OCD$，$\therefore \angle ACO=\angle AEC$，故 $AC=AE$。同理，$BF=BD$。又$\because AC=CD=BD$，$\therefore CD=AE=BF$。

13. (核心素养・推理能力)如图,在 $ \odot O $ 中,点 $ C $ 是优弧 $ ACB $ 的中点, $ D $, $ E $ 分别是 $ OA $, $ OB $ 上的点,且 $ AD = BE $,弦 $ CM $, $ CN $ 分别过点 $ D $, $ E $.
(1)求证： $ CD = CE $；
(2)求证： $ \overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BN} $.

答案：
(1)证明：连接 $OC$。$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore \angle COD=\angle COE$。$\because OA=OB$，$AD=BE$，$\therefore OD=OE$。$\because OC=OC$，$\therefore \triangle COD\cong\triangle COE(SAS)$。$\therefore CD=CE$。
(2)连接 $OM$，$ON$。$\because \triangle COD\cong\triangle COE$，$\therefore \angle CDO=\angle CEO$，$\angle OCD=\angle OCE$。$\because OC=OM=ON$，$\therefore \angle OCM=\angle OMC$，$\angle OCN=\angle ONC$。$\therefore \angle OMD=\angle ONE$。$\because \angle ODC=\angle DMO+\angle MOD$，$\angle CEO=\angle ENO+\angle EON$，$\therefore \angle MOD=\angle NOE$。$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。