《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

9. (原创题)如图,在正方形 ABCD 中,$ AB = 4 $,P 为对角线 BD 上一动点,F 为射线 AD 上一点。若 $ AP = PF $,则 $ △APF $ 的面积最大值为4。(点拨：过 P 作 AF 的垂线。)

答案： 4

10. (新考法)某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米 2000 元。设矩形一边长为 x 米,面积为 S 平方米。
(1) 求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；
(2) 设计费能达到 24000 元吗？为什么？
(3) 当 x 是多少米时,设计费最多？最多是多少元？

答案：
(1)解:
∵矩形的一边长为x米,周长为16米,
∴另一边长为(8-x)米.
∴$S=x(8-x)=-x^{2}+8x$,其中$0＜x＜8$.
(2)能.当设计费为24000元时,面积为24000÷2000=12(平方米),即$-x^{2}+8x=12$,解得x=2或x=6,即当x=2或6时,设计费能达到24000元.
(3)
∵$S=-x^{2}+8x=-(x-4)^{2}+16$,当x=4时,$S_{最大值}=16$,
∴当矩形的一边长为4米时,矩形的最大面积为16平方米.此时设计费最多.$16×2000=32000$(元).
∴设计费最多是32000元.

11. (核心素养·数据观念)某游乐园景区内有一块如图所示的矩形油菜花田地(单位：m),计划修建一条如图中阴影部分所示的观花道,供游人赏花。设改造后观花道的面积为 ym^2。
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2) 若改造后观花道的面积为 13m^2,求 x 的值；
(3) 若要求 $ 0.5 ≤ x ≤ 1 $,求改造后油菜花田地所占面积的最大值。

答案：
(1)解:由题意,得$y=6×8-2×\frac{1}{2}(8-x)(6-x)=-x^{2}+14x(0＜x＜6)$.故y与x之间的函数关系式为$y=-x^{2}+14x(0＜x＜6)$.
(2)由题意,得$-x^{2}+14x=13$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=13$(不合题意,舍去),所以x的值为1.
(3)设改造后油菜花田地所占面积为$S\mathrm{m}^{2}$,则$S=2×\frac{1}{2}(8-x)(6-x)=x^{2}-14x+48=(x-7)^{2}-1$,当$0.5\leqslant x\leqslant1$时,S随x的增大而减小,所以当x=0.5时,S取得最大值41.25.故改造后油菜花田地所占面积的最大值为$41.25\mathrm{m}^{2}$.