《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

7. (教材第 52 页第 8 题变式) 辰星旅游度假村有甲种风格客房 15 间,乙种风格客房 20 间. 按现有定价：若全部入住,一天营业额为 8500 元；若甲、乙两种风格客房均有 10 间入住,一天营业额为 5000 元.
(1) 甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
(2) 度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加 20 元时,就会有两个房间空闲. 如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出 80 元的各种费用. 当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润 $ w $ 最大,最大利润是多少元？

答案：
(1)解:设甲、乙两种客房每间现有定价分别是 x 元、y 元,根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} 15x+20y=8500,\\ 10x+10y=5000,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=300,\\ y=200.\end{array}\right. $答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元、200 元.
(2)设每天的定价增加了 m 个 20 元,则有 2m 个房间空闲,根据题意,得 w=(20-2m)(200+20m-80)=-40m²+160m+2400=-40(m-2)²+2560,
∵-40＜0,
∴当 m=2 时,w 取得最大值,最大值为 2560,此时房间的定价为 200+2×20=240(元).答:当每间房间定价为 240 元时,乙种风格客房每天的利润 w 最大,最大利润是 2560 元.

8. (十堰市中考) “端午节” 吃粽子是中国传统习俗,在 “端午节” 来临前,某超市购进一种品牌粽子,每盒进价是 40 元,并规定每盒售价不得少于 50 元,日销售量不低于 350 盒,根据以往销售经验发现,当每盒售价定为 50 元时,日销售量为 500 盒,每盒售价每提高 1 元,日销售量减少 10 盒,设每盒售价为 $ x $ 元,日销售量为 $ p $ 盒.
(1) 当 $ x = 60 $ 时,$ p = $400；
(2) 当每盒售价定为多少元时,日销售利润 $ W $ (元) 最大？最大利润是多少？
(3) 小强说：“当日销售利润最大时,日销售额不是最大. ”小红说：“当日销售利润不低于 8000 元时,每盒售价 $ x $ 的范围为 $ 60 \leq x \leq 80 $.” 你认为他们的说法正确吗？若正确,请说明理由；若不正确,请直接写出正确的结论.
(2)解:由题意,得 W=p(x-40)=[500-10(x-50)](x-40)=-10x²+1400x-40000=-10(x-70)²+9000,又∵$\left\{\begin{array}{l} p≥350,\\ x≥50,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 500-10(x-50)≥350,\\ x≥50,\end{array}\right. $解得 50≤x≤65.∵-10＜0,∴当 x=65 时,W 最大,最大值为 8750,∴当每盒售价定为 65 元时,日销售利润 W(元)最大,最大利润是 8750 元. (3)小强的说法正确,小红的说法不正确,理由如下:设日销售额为 y 元,则 y=[500-10(x-50)]x=-10x²+1000x=-10(x-50)²+25000,∵-10＜0,∴当 x=50 时,y 最大,最大值为 25000,∴当日销售利润最大时,日销售额不是最大,即小强的说法正确.当 W=8000 时,8000=-10(x-70)²+9000,解得 x₁=60,x₂=80.∵抛物线开口向下,∴60≤x≤80.∵50≤x≤65,∴当日销售利润不低于 8000 元时,每盒售价 x 的范围为 60≤x≤65.故小红的说法不正确.

答案： 400
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(2)解:由题意,得 W=p(x-40)=[500-10(x-50)](x-40)=-10x²+1400x-40000=-10(x-70)²+9000,又
∵$\left\{\begin{array}{l} p≥350,\\ x≥50,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 500-10(x-50)≥350,\\ x≥50,\end{array}\right. $解得 50≤x≤65.
∵-10＜0,
∴当 x=65 时,W 最大,最大值为 8750,
∴当每盒售价定为 65 元时,日销售利润 W(元)最大,最大利润是 8750 元.
(3)小强的说法正确,小红的说法不正确,理由如下:设日销售额为 y 元,则 y=[500-10(x-50)]x=-10x²+1000x=-10(x-50)²+25000,
∵-10＜0,
∴当 x=50 时,y 最大,最大值为 25000,
∴当日销售利润最大时,日销售额不是最大,即小强的说法正确.当 W=8000 时,8000=-10(x-70)²+9000,解得 x₁=60,x₂=80.
∵抛物线开口向下,
∴60≤x≤80.
∵50≤x≤65,
∴当日销售利润不低于 8000 元时,每盒售价 x 的范围为 60≤x≤65.故小红的说法不正确.