《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 已知关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + \frac{1}{2} = 0$。
(1)当$b = a + 1$时,利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的$a,b$的值,并求出此时方程的根。

答案：
(1)解:$\Delta=b^{2}-4× a×\frac{1}{2}=b^{2}-2a$,$\because b=a+1$,$\therefore\Delta=(a+1)^{2}-2a=a^{2}+1＞0$,$\therefore$一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because$方程有两个相等的实数根,$\therefore b^{2}-2a=0$,即$b^{2}=2a$,取$a=2$,$b=2$,则方程$2x^{2}+2x+\frac{1}{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{2}$.($a$,$b$的取值不唯一,答案正确即可)

2. 已知关于$x的一元二次方程(m - 2)x^2 - (m + 2)x + 4 = 0$。
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果$m$为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,求$m$的值。

答案：
(1)证明:$\because\Delta=[-(m+2)]^{2}-4×4(m-2)=m^{2}-12m+36=(m-6)^{2}\geq0$,$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)解:解方程$(m-2)x^{2}-(m+2)x+4=0$,得$x_{1}=\frac{4}{m-2}$,$x_{2}=1$.$\because m$为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,$\therefore m=3$或4.

3. (新考法)已知方程$x^2 + px + q = 0的两个根是x_1,x_2$,那么$x_1 + x_2 = -p,x_1x_2 = q$；反过来,如果$x_1 + x_2 = -p,x_1x_2 = q$,那么以$x_1,x_2为两根的一元二次方程是x^2 + px + q = 0$。请根据以上结论,解决下列问题：
(1)已知关于$x的方程x^2 - 4x + 2 = 0$,求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知实数$a,b满足a^2 - 15a - 5 = 0,b^2 - 15b - 5 = 0$,求$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值。

答案：
(1)解:设方程$x^{2}-4x+2=0$的两根为$x_{1}$,$x_{2}$.则$x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=2$.$\therefore$所求新方程的两根为$\frac{1}{x_{1}}$,$\frac{1}{x_{2}}$.$\because\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{2}=2$,$\frac{1}{x_{1}}\cdot\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{x_{1}x_{2}}=\frac{1}{2}$.$\therefore$所求的方程为$y^{2}-2y+\frac{1}{2}=0$.即$2y^{2}-4y+1=0$.
(2)从$a$,$b$满足的同一种关系可知:①当$a\neq b$时,$a$,$b$是一元二次方程$x^{2}-15x-5=0$的两根,$\therefore a+b=15$,$ab=-5$.$\therefore\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=\frac{15^{2}-2×(-5)}{-5}=-47$; ②当$a=b$时,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+1=2$.综上,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为-47或2.