《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

11. (原创题)已知$\odot O的半径为R$,点$O到直线l的距离为d$,$R$、$d是方程x^2 - 6x + m = 0$的两根。当直线$l与\odot O$相切时,$m$的值为9。

答案： 9

12. 如图,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$O为射线BC$上一点,以点$O$为圆心,$\frac{1}{2}OB长为半径作\odot O$,要使射线$BA与\odot O$相切,应将射线$BA绕点B按顺时针方向旋转的度数\alpha =$50°或110°($0\lt\alpha\lt180^{\circ}$)。

答案： 50°或110°

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,$AO = x$,$O在边AB$上,且$\odot O$的半径为1。当$x$在什么范围内取值时,$AC与\odot O$相离、相切、相交？

答案： 解:过点O作OD⊥AC于点D.
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°.
∵AO=x,
∴OD=$\frac{1}{2}$x.
(1)若⊙O与AC相离,则OD＞r,即$\frac{1}{2}$x＞1,解得x＞2;
(2)若⊙O与AC相切,则OD=r,即$\frac{1}{2}$x=1,解得x=2;
(3)若⊙O与AC相交,则OD＜r,即$\frac{1}{2}$x＜1,且x＞0,解得0＜x＜2.综上,当x＞2时,AC与⊙O相离;当x=2时,AC与⊙O相切;当0＜x＜2时,AC与⊙O相交.

14. (分类讨论思想)如图,在平面直角坐标系中,直线$y= \frac{3}{4}x - 3与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点,现有半径为1的动圆,动圆的圆心从原点$O$处以每秒1个单位的速度向右做平移运动,则经过几秒,动圆与直线$AB$相切？

答案： 解:依题意,得OA=4,OB=3,
∴AB=5.设⊙O经过xs后与直线AB相切.设此时圆心为P,过点P作AB的垂线,垂足为Q,则PQ=1.①当⊙O在点A的左边与直线AB相切时,AP=4-x.连接BP,则$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AP\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot PQ$.即$\frac{1}{2}×(4-x)×3=\frac{1}{2}×5×1$,解得x=$\frac{7}{3}$. ②当⊙O在点A的右边与直线AB相切时,AP=x-4.同理有$\frac{1}{2}×(x-4)×3=\frac{1}{2}×5×1$.解得x=$\frac{17}{3}$.综上所述,经过$\frac{7}{3}$s或$\frac{17}{3}$s后,动圆与直线AB相切.