《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. (原创题)已知平面直角坐标系内的三个点$A(1,-3)$,$B(0,-3)$,$C(2,-3)$,这三个点不能(填“能”或“不能”)确定一个圆。

答案： 不能

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 4$,$BC= 5$,$M为AB$的中点。
(1)以点$C$为圆心,$4为半径作\odot C$,则点$A$、$B$、$M分别与\odot C$有怎样的位置关系？
(2)若以点$C为圆心作\odot C$,使$A$、$B$、$M三点中至少有一点在\odot C$内,且至少有一点在$\odot C$外,求$\odot C的半径r$的取值范围。

答案：
(1)解:
∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5,
∴AB=√(AC²+BC²)=√41.又
∵M 为 AB 的中点,
∴CM=(1/2)AB=(√41)/2.
∵以点 C 为圆心,4 为半径作⊙C,AC=4,
∴点 A 在⊙C 上.
∵CM=(√41)/2＜4,
∴点 M 在⊙C 内.
∵BC=5＞4,
∴点 B 在⊙C 外.
(2)以点 C 为圆心作⊙C,当 A、B、M 三点中至少有一点在⊙C 内时,r＞(√41)/2.至少有一点在⊙C 外时,r＜5.故⊙C 的半径 r 的取值范围为(√41)/2＜r＜5.

12. 如图所示,要把破残的圆片复制完整。已知弧上的三点$A$,$B$,$C$。
(1)用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BC}$所在圆的圆心；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设$\triangle ABC$是等腰三角形,底边$BC= 8cm$,腰$AB= 5cm$。求圆片的半径$R$。

答案：
(1)解:分别作 AB,AC 的垂直平分线,设交点为 O,则 O 为所求圆的圆心.
(2)连接 AO 交 BC 于点 E.
∵AB=AC,
∴AE⊥BC,BE=(1/2)BC=4cm.在 Rt△ABE 中,AE=√(AB²-BE²)=√(5²-4²)=3(cm).连接 OB,在 Rt△BEO 中,OB²=BE²+OE²,即 R²=4²+(R-3)²,解得 R=25/6cm.即所求圆片的半径为25/6cm.

13. (核心素养·抽象能力)如图,$AD为\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC于点F$,$\angle ABC的平分线交AD于点E$,连接$BD$,$CD$。
(1)求证：$BD= CD$；
(2)请判断$B$,$E$,$C三点是否在以点D$为圆心,以$DB$为半径的圆上,并说明理由。

答案：
(1)证明:
∵AD 为圆的直径,AD⊥BC,
∴弧 BD=弧 CD,
∴BD=CD.
(2)解:B,E,C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上.理由如下:
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBF.
∵∠BED=∠BAD+∠ABE,∠EBD=∠EBF+∠CBD,∠CBD=∠CAD=∠BAD,
∴∠BED=∠EBD,
∴DE=DB.又
∵DB=DC,
∴DB=DE=DC,
∴B,E,C 三点在以点 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上.