《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. 下列说法正确的是(A)

A.若$y与x^{2}+1$成正比例,则$y是x$的二次函数
B.函数$y= ax^{2}+bx+c$($a$,$b$,$c$是常数)是二次函数
C.在函数$y= ax^{2}(a＞0)$中,无论$x$为何值,$y$的值总是正数
D.函数$y= x^{2}-(x+2)(x-2)$是二次函数

答案： A

11. 已知矩形的周长为$36m$,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的该条边长为$xm$,圆柱的侧面积为$ym^{2}$,则$y与x$的函数关系式为(C)
A.$y= -2\pi x^{2}+18\pi x$
B.$y= 2\pi x^{2}-18\pi x$
C.$y= -2\pi x^{2}+36\pi x$
D.$y= 2\pi x^{2}-36\pi x$

答案： C

12. (原创题)已知二次函数$y= x^{2}-2x-2$,当$x= 2$时,$y= $-2；当$x= $3或-1时,函数值为$1$。

答案： -2 3或-1

13. 某公园门票是每张$80$元,据统计每天进园人数为$200$人,经市场调查发现,若门票每降低$1$元出售,则每天进园人数就增多$6$人。试写出门票价格为$x(x\leqslant 80)$元时,该公园每天的门票收入$y$(元)关于$x$的函数关系式。$y是关于x$的二次函数吗？

答案： 解:由题意可知当门票价格为x元时,则每张门票降价(80-x)元,那么每天进园人数就增加6(80-x)人,每天进园人数为200+6(80-x)=(680-6x)人,
∴$y=x(680-6x)=-6x^{2}+680x$.显然,y是x的二次函数.

14. 观察如图所示的构成规律。

(1)如果第$n个图中有S$个圆,试写出$S与n$的函数解析式；
(2)这个函数是不是二次函数？
(3)第$10$个图中有多少个圆？若图中共有$226$个圆,则此图是第几个图？

答案：
(1)解:$S=n^{2}+1$;
(2)是二次函数；
(3)当n=10时,$S=10^{2}+1=100+1=101$,当S=226时,$226=n^{2}+1$,
∴$n^{2}=225$,
∴$n_{1}=15$,$n_{2}=-15$(舍去).
∴第10个图中有101个圆;若图中有226个圆,则此图是第15个图.

15. (核心素养·几何直观)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 12mm$,$BC= 24mm$,动点$P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s$的速度移动(不与点$B$重合),动点$Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s$的速度移动(不与点$C$重合),如果$P$,$Q分别从A$,$B$两点同时出发,设运动的时间为$x s$,四边形$APQC的面积为y mm^{2}$。
(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)求自变量$x$的取值范围；
(3)四边形$APQC的面积能否等于172mm^{2}$？若能,求出运动的时间；若不能,说明理由。

答案：
(1)解:由运动可知,AP=2x,BQ=4x,则$y=\frac{1}{2}BC·AB-\frac{1}{2}BQ·BP=\frac{1}{2}×24×12-\frac{1}{2}×4x(12-2x)$,即$y=4x^{2}-24x+144$.
(2)由0＜AP＜AB,0＜BQ＜BC,易得0＜x＜6.
(3)不能.理由:当y=172时,$4x^{2}-24x+144=172$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=-1$.又
∵0＜x＜6,
∴四边形APQC的面积不能等于$172mm^{2}$.