《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

9. (核心素养·推理能力)已知抛物线$y = x^2 - 2mx + m^2 - 16$。
(1)求证：无论$m$为何值,该抛物线与$x轴总有两个不同的交点A$,$B$；
(2)设点$A$,$B的坐标分别为(x_A, 0)$,$(x_B, 0)$($x_A ＜ x_B$),若$(x_A - 1)(x_B - 1) = 9$,求$m$的值；
(3)设点$A在点B$的左侧,若$OA = 3OB$,求$m$的值。

答案：
(1)证明:令$y = x^{2}-2mx + m^{2}-16 = 0$，则$\Delta =(-2m)^{2}-4(m^{2}-16)=64＞0$，$\therefore$无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个不同的交点A，B。　
(2)解:令$y = 0$，解得$x_{A}=m - 4$，$x_{B}=m + 4$。$\because (x_{A}-1)(x_{B}-1)=9$，$\therefore (m - 5)(m + 3)=9$，解得$m = 6$或$-4$。　
(3)解:当点A，B均在y轴左侧时，$\because OA = 3OB$，$\therefore -(m - 4)=-3(m + 4)$，解得$m = - 8$。当点A，B分别在y轴两侧时，则$-(m - 4)=3(m + 4)$，解得$m = - 2$。故$m = - 8$或$-2$。

1. (滨州市中考)如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c与x轴相交于点A(-2, 0)$、$B(6, 0)$,与$y轴相交于点C$。以下结论：①$b^2 - 4ac ＞ 0$；②$4a + b = 0$；③当$y ＞ 0$时,$-2 ＜ x ＜ 6$；④$a + b + c ＜ 0$。其中正确的个数为(B)

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： B

2. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示,有下列$5$个结论：①$abc ＞ 0$；②$2a - b = 0$；③$9a + 3b + c ＞ 0$；④$c ＜ -3a$；⑤$a + b \geq m(am + b)$。其中正确的有(A)

A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个

答案： A