《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. (天津市中考)若$x_1,x_2是方程x^2 - 6x - 7 = 0$的两个根,则(A)
A.$x_1 + x_2 = 6$
B.$x_1 + x_2 = -6$
C.$x_1x_2 = \frac{7}{6}$
D.$x_1x_2 = 7$

答案： A

2. 下列一元二次方程中,两实数根之积为$-3$的是(B)
A.$x^2 + 2x + 1 = 0$
B.$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$x^2 - 2 = 0$

答案： B

3. 若$x_1,x_2是一元二次方程x^2 + x - 2 = 0$的两个实数根,则$x_1 + x_2 + x_1x_2 = $-3。

答案： -3

4. (教材第 16 页练习变式)不解方程,求下列方程的两根的和与积：
(1)$x^2 - 4x = 3$；
(2)$2x^2 - 5x - 1 = 3 - 5x$。

答案：
(1)解:原方程化为$x^{2}-4x-3=0$,设两根为$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=-3$.
(2)解:原方程化为$2x^{2}-4=0$,设两根为$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=0$,$x_{1}x_{2}=-2$.

5. 已知$x_1,x_2是一元二次方程x^2 + 2x - k - 1 = 0的两根且x_1x_2 = -3$,则$k$的值为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

6. (随州市中考)已知关于$x的方程x^2 - (k + 4)x + 4k = 0(k ≠ 0)的两实数根为x_1,x_2$,若$\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = 3$,则$k$的值是(A)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{1}{5}$
C.1
D.$\frac{3}{5}$

答案： A

7. (淮安市中考改编)已知方程$x^2 - 7x + 2 = 0的两个根分别是x_1,x_2$,则$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值为14。

答案： 14

8. 已知$x_1、x_2是方程x^2 + 2x - 5 = 0$的两根,不解方程,求下列各式的值。
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$。

答案： 解:由题意,知$x_{1}+x_{2}=-2$,$x_{1}x_{2}=-5$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-2×(-5)=14$.
(2)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}+4=x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4=-5-2×(-2)+4=3$.

9. 若$x = -2是一元二次方程x^2 + 2x + m = 0$的一个根,求方程的另一个根及$m$的值。

答案： 解:设另一个根是$x_{2}$,由根与系数的关系,得$-2+x_{2}=-2$,$-2\cdot x_{2}=m$,解得$x_{2}=0$,$m=0$.$\therefore$另一个根是0,$m$的值是0.

10. 若关于$x的一元二次方程x^2 - (2m + 3)x + m^2 = 0有两个不相等的实数根x_1,x_2$,且$x_1 + x_2 = x_1x_2$,则$m$的值是3。

答案： 3

【变式】若关于$x的方程x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$的两个根互为倒数,则$a$的值是-1。

答案： -1

11. 已知实数$x_1,x_2满足x_1 + x_2 = 7,x_1x_2 = 12$,则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是(A)
A.$x^2 - 7x + 12 = 0$
B.$x^2 + 7x + 12 = 0$
C.$x^2 + 7x - 12 = 0$
D.$x^2 - 7x - 12 = 0$

答案： A