《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. (分类讨论思想)一条弦的长度等于它所在圆的半径,那么这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°。

答案： 30°或150°

11. (营口市中考)如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在$\odot O$上,$AC\perp BC$,$AC = 4$,$\angle ADC = 30^{\circ}$,则 $BC$的长为 (A)

A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4$

答案： A

12. (原创题)如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$的内接四边形,$AD$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $E$,$BA$ 与 $CD$ 的延长线交于点 $F$。若$\angle DCE = 80^{\circ}$,$\angle F = 25^{\circ}$,则$\angle E = $45°。

答案： 45°

13. 如图,平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $A$,$B$,$D在\odot O$上,顶点 $C$ 在$\odot O$的直径 $BE$ 上,连接 $AE$。若$\angle E = 36^{\circ}$,求$\angle ADC$的度数。

答案： 解：
∵BE是直径，
∴∠BAE=90°.
∵∠E=36°，
∴∠B=90°-∠E=90°-36°=54°. 又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=54°.

14. 如图,$AB$ 是$\odot O$的直径,点 $D$,$E$ 在$\odot O$上,$AE$,$BD$ 的延长线交于点 $C$,且 $AB = AC$。求证：$BD = DE$。

答案： 证明：连接AD.
∵AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC. 又AB=AC，
∴∠BAD=∠DAE，则$\widehat{BD}=\widehat{DE}$.
∴BD=DE.

15. (核心素养·推理能力)如图,在$\odot O$中,弦 $AC\perp BD$于点 $E$,连接 $AB$,$CD$,$BC$,$OA$,$OB$,$OC$,$OD$。
(1)求证：$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$；
(2)若 $AB = 8$,$CD = 6$,求$\odot O$的直径。

答案：
(1)证明：由圆周角定理，得∠AOB=2∠ACB，∠COD=2∠CBD.
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°；
(2)解：延长BO交⊙O于点F，连接AF，DF，AD.
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BDF=90°.
∴DF⊥BD.
∵AC⊥BD，
∴AC//DF，
∴∠CAD=∠ADF，
∴AF=CD.
∴AF=CD=6.
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴⊙O的直径为10.

变式 1 如图,$\triangle ABC$ 内接于$\odot O$,$AB = 10\mathrm{cm}$,$AC = 6\mathrm{cm}$,弦 $CD$ 平分$\angle ACB$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,则 $CD = $$8\sqrt{2}$$\mathrm{cm}$。

拓展 1 连接上图中的 $AD$,把变式 1 中的条件 $AB = 10\mathrm{cm}$,改为 $AD = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$,其他条件不变,则 $BC = $8$\mathrm{cm}$。
变式 2 连接上图中的 $AD$,$BD$,则四边形 $ACBD$的面积为49$\mathrm{cm}^2$。
拓展 2 若$\angle ACB = 120^{\circ}$,其他条件不变,则 $CD = $14$\mathrm{cm}$。

答案： 变式 1
本题可通过证明三角形全等，再利用勾股定理求解$CD$的长度。
因为$CD$平分$\angle ACB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$。
由于$\angle ADB=\angle ACB = 90^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），$\angle BAD=\angle BCD = 45^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），$\angle ABD=\angle ACD = 45^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形。
已知$AB = 10\mathrm{cm}$，根据等腰直角三角形三边关系$a:b:c = 1:1:\sqrt{2}$（$a,b$为直角边，$c$为斜边），可得$AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
过点$A$作$AE\perp CD$于点$E$，过点$B$作$BF\perp CD$于点$F$。
因为$\angle ACE = 45^{\circ}$，$\angle AEC = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEC$是等腰直角三角形，$AE = CE=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×6 = 3\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
因为$\angle BDF = 45^{\circ}$，$\angle BFD = 90^{\circ}$，所以$\triangle BDF$是等腰直角三角形，$BF = DF=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×5\sqrt{2}= 5\mathrm{cm}$。
又因为$\angle AED=\angle BFD = 90^{\circ}$，$\angle ADE=\angle FBD$（同角的余角相等），$AD = BD$，所以$\triangle ADE\cong\triangle BDF(AAS)$，则$DE = BF = 5\mathrm{cm}$。
所以$CD=CE + DE=3\sqrt{2}+ 5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
拓展 1
本题可先根据已知条件求出$AB$的长度，再利用勾股定理求出$BC$的长度。
因为$CD$平分$\angle ACB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$。
由于$\angle ADB=\angle ACB = 90^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），$\angle BAD=\angle BCD = 45^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），$\angle ABD=\angle ACD = 45^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形。
已知$AD = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，根据等腰直角三角形三边关系$a:b:c = 1:1:\sqrt{2}$（$a,b$为直角边，$c$为斜边），可得$AB=\sqrt{2}AD = 10\mathrm{cm}$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8\mathrm{cm}$。
变式 2
本题可将四边形$ACBD$的面积转化为两个三角形面积之和进行求解。
由变式 1 可知$AD=BD = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，$BC = 8\mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×6×8 = 24\mathrm{cm}^{2}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}= 25\mathrm{cm}^{2}$。
所以四边形$ACBD$的面积$S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}=24 + 25=49\mathrm{cm}^{2}$。
拓展 2
本题可通过构造等边三角形，利用全等三角形性质求解$CD$的长度。
延长$CA$到$E$，使$AE = CB$，连接$DE$。
因为$\angle ACB = 120^{\circ}$，$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD=\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle ADB=\angle ACB = 120^{\circ}$，$\angle CAD=\angle CBD$（同弧所对的圆周角相等）。
又因为$AE = CB$，$AD = BD$（等弧对等弦，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$），所以$\triangle ADE\cong\triangle BDC(SAS)$，则$DE = DC$，$\angle EDA=\angle CDB$。
所以$\angle EDC=\angle EDA+\angle ADC=\angle CDB+\angle ADC=\angle ADB = 120^{\circ}$，则$\angle DEC=\angle DCE = 30^{\circ}$。
过点$D$作$DF\perp CE$于点$F$，则$CF=\frac{1}{2}CD$（$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半）。
因为$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\angle DFC = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF = 30^{\circ}$，$CF=\frac{1}{2}CD$。
设$CD = x\mathrm{cm}$，则$CF=\frac{1}{2}x\mathrm{cm}$，$DF=\frac{\sqrt{3}}{2}x\mathrm{cm}$。
又因为$AC + AE=AC + CB$，$AC = 6\mathrm{cm}$，$CB = 8\mathrm{cm}$（由拓展 1 可知$AB = 10\mathrm{cm}$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，根据余弦定理可求$CB = 8\mathrm{cm}$），所以$CE=AC + CB=14\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}(AC + CB)=7\mathrm{cm}$。
即$\frac{1}{2}x = 7$，解得$x = 14\mathrm{cm}$，所以$CD = 14\mathrm{cm}$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{8\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{49}$；$\boldsymbol{14}$。